Cesaro-Mittel 0, aber warum?

17.11.2021, 22:02

Cesaro

Cesaro-Mittel 0, aber warum?

Hallo,

ich habe ein Beispiel in meinem Skript stehen, welches ich nicht ganz verstehe. Es geht um Cesaro-Mittel. In dem Beispiel wird die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ betrachtet, welche den Wert 1 annimmt, wenn sich n als Zweierpotenz schreiben lässt und 0 sonst. Dann wird anschließend gesagt, dass $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n} a_k=0 \end{eqnarray*}$ ist. Die einzige Begründung ist, dass sich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}a_k\leq \frac{m}{n} \end{eqnarray*}$ mit einer Konstante $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ abschätzen lässt.

Dass man mit dieser Abschätzung und dem Sandwichlemma dann den Grenzwert 0 erhält versteh ich, aber wie kommt man an diese Abschätzung? Vielen Dank für eine Hilfestellung im voraus

17.11.2021, 22:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von Cesaro
Die einzige Begründung ist, dass sich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}a_k\leq \frac{m}{n} \end{eqnarray*}$ mit einer Konstante $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ abschätzen lässt.

Diese Abschätzung gilt NICHT für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , sondern (sofern $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ natürlich ist) nur für $\begin{eqnarray*} n<2^m \end{eqnarray*}$ . Ich vermute mal, du hast den Beweis hier unzulässig verkürzt dargestellt. unglücklich

17.11.2021, 22:48

Cesaro

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Zitat:

Original von HAL 9000
Diese Abschätzung gilt NICHT für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , sondern (sofern $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ natürlich ist) nur für $\begin{eqnarray*} n<2^m \end{eqnarray*}$ . Ich vermute mal, du hast den Beweis hier unzulässig verkürzt dargestellt. unglücklich

Ich habe ja leider keinen schriftlichen Beweis vorliegen, alles was zu diesem Beispiel gesagt wurde, war diese Abschätzung gegen $\begin{eqnarray*} \frac{m}{n} \end{eqnarray*}$ . Das war mündlich als Begründung während der Vorlesung. Im Skript steht lediglich, dass für diese Folge das Cesaro-Mittel den Wert 0 annimmt ohne weiteren Nachweis:

"Für $\begin{eqnarray*} a_k=(*) \end{eqnarray*}$ erhalten wir $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n} a_k=0 \end{eqnarray*}$ " und bei (*) ist dann die Folge mit geschweiften Klammern und einer Fallunterscheidung aufgeschrieben, die ich in Latex nicht hinbekomme. Das ist der Wortlaut im Skript.

Wie würde man diese Abschätzung denn korrekt führen bzw. wie würde das dann tatsächlich den Grenzwert = 0 begründen? Wenn ich das nur für $\begin{eqnarray*} n<2^m \end{eqnarray*}$ habe, dann kann ich das doch nicht für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ verwenden, oder?

17.11.2021, 22:53

HAL 9000

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Für festes $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ sowie alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 2^{m-1}\leq n<2^m \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n a_k = m \end{eqnarray*}$ und damit

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k = \frac{m}{n} \leq \frac{m}{2^{m-1}} \end{eqnarray*}$ .

Nun gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{m\to\infty} \frac{m}{2^{m-1}} = 0 \end{eqnarray*}$ , was dann für das Sandwichargument ausreicht.

17.11.2021, 23:14

Cesaro

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Ok, verstehe! Man betrachtet also zunächst gar nicht den Grenzwert sondern kann dann erstmal für ein festes m die Summe betrachten und dafür auch tatsächlich nach oben abschätzen um das Sandwich zu finden. Danke!

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