Irreduzibilität eines Polynoms in Q

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Irreduzibilität eines Polynoms in Q
Meine Frage:
Wie kann ich zeigen, dass folgendes Polynom irreduzibel in Q ist?

2x^{4}+200x^{3}+2000x^{2}+20.000x+20

Meine Ideen:
f nicht primitiv --> f = c f', wobei ich dann hier bei f die 2 ausgeklammert hätte. Dann wäre f' primitiv.
Für f' hätte ich dann das Eisensteinkriterium über Z benutzt und dann mit dem Satz von Gauß gefolgert, dass nun auch f' über Q irreduzibel sein muss.
Da nun c=2 in den Einheiten von Q[x] liegt, wäre somit auch das ganze f irreduzibel, da der Faktor 2 quasi "nichts verändert"

Darf man das?
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Frage: Warum nicht Eisenstein direkt auf anwenden, und zwar mit ?
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