Ordnung 2, endliche Gruppe?

19.11.2021, 13:02

HiBee123

Ordnung 2, endliche Gruppe?

Hi,

es gilt zu zeigen oder zu widerlegen, dass wenn für alle x in G\{e} ordnung(x)=2 ist, dass dann |G| endlich ist.
Ich habe versucht ein Gegenbeispiel zu konstruieren... leider erfolglos
Habt ihr vielleicht bessere Ansätze?

Grüße

19.11.2021, 13:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von HiBee123
Ich habe versucht ein Gegenbeispiel zu konstruieren...

Meine Empfehlung: Dranbleiben.

19.11.2021, 17:22

HiBee123

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mmh... vielleicht irgendwas mit der Symetrischen Gruppe? darf ich das? Also ich nehme die Symetrische Gruppe mit unendlich vielen Elementen und dann wähle ich als untergruppe, die selbstinversen oder einfacher , die wo zwei elemente vertauscht sind. Damit sind alle Elemente der ordnung zwei (außer der Identität) aber die Gruppe ist unendlch... also wenn ich das so darf...

19.11.2021, 17:39

Leopold

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Bilden denn die Selbstinversen überhaupt eine Gruppe? $\begin{align*} (1,2) \circ (1,3) = \text{???} \end{align*}$ (Zykelschreibweise)

Betrachte $\begin{align*} G = \{ -1, 1\}^{\mathbb{N}} \end{align*}$ unter der punktweisen Multiplikation, wobei mit $\begin{align*} -1,1 \in \mathbb{Z} \end{align*}$ in üblicher Weise gerechnet wird. Die Elemente von $\begin{align*} G \end{align*}$ sind Folgen aus $\begin{align*} 1 \end{align*}$ und $\begin{align*} -1 \end{align*}$ .

@ HAL
Da hatten wohl zwei dieselbe Idee.

19.11.2021, 17:39

HAL 9000

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Ich hatte eigentlich an was ganz einfaches gedacht: Nimm als Basis eine zweielementige Gruppe, also z.B. $\begin{eqnarray*} \left(\{-1,1\},\cdot\right) \end{eqnarray*}$ und "potenziere" mit einer beliebigen unendlich großen Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , d.h.,

$\begin{eqnarray*} G := \{-1,1\}^M = \left\{ f:\;M\to \{-1,1\} \right\} \end{eqnarray*}$ mit Gruppenoperation $\begin{eqnarray*} \left(f\circ g\right)(x):=f(x)\cdot g(x) \end{eqnarray*}$

und als neutrales Element die konstante Funktion $\begin{eqnarray*} e(x)=1 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} f\circ f = e \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} f\in G \end{eqnarray*}$ , und offenkundig $\begin{eqnarray*} |G|=\infty \end{eqnarray*}$ .

19.11.2021, 17:44

HAL 9000

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Zitat:

@ HAL
Da hatten wohl zwei dieselbe Idee.

Ja, komisch: Wenigstens einer von uns beiden hätte ja $\begin{eqnarray*} \left(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},+\right) \end{eqnarray*}$ als Zweiergruppe nehmen können - aber ist vermutlich zuviel Schreibarbeit. Big Laugh

19.11.2021, 17:48

HiBee123

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Also ich dachte ja an spezielle Inverse, also (1,2), (3,4) ,(5,6) und alle Kombinationen wo jeweils zwei
so nebeneinanderliegende vertauscht sind als auch (12),(34) Die sind dann ja wieder selbstinvers.

Aber euer Beispiel ist schöner...

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