Polynom aus Lagrange: Nullstelle 1. Ordnung zielsicher berechnen? |
| 20.11.2021, 14:36 | motom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Polynom aus Lagrange: Nullstelle 1. Ordnung zielsicher berechnen? Liebe Mathe-Skater, ich habe mit Hilfe der Lagrange-Interpolation ein Polynom erhalten und möchte nun eindeutig und zielsicher (Software-automatisiert) die Nullstelle 1. Ordnung berechen. Das Polynom ist eine 4-Punkt Interpolation. Die Sample-Positionen sind immer die gleichen: x0 = 0 , x1 = 1 , x2 = 2 , x3 = 3 Y-Werte sind variabel. Meine Ideen: In der Oberstufe haben wir zu Y umgestellt und durch Ausprobieren ein oder mehrere x für f(x)=y=0 gefunden (oder nicht gefunden). Welche Andere Möglichkeit gibt es? Recherche hat ergeben, dass auch eine Polynomdivision durch Einsetzten zum gleichen Ergebnis führt. Muss ich immer Zahlen durch Einsetzten, probieren oder kann ich es auch eindeutig berechnen? Wie erhalte ich immer nur die Nullstelle 1. Ordnung, also keine Nullstelle höherer Ordnung? Und wie kann ich prüfen, ob überhaupt eine Nullstelle Vorhanden ist? Bitte entschuldigt meine dilletantische Terminologie! Die Grafik zeigt Eine Interpolation aus den Punkten: S0= (0|8), S1= (1|-4), S2= (2|3), S3= (3|5) |
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| 26.01.2022, 09:13 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Polynom aus Lagrange: Nullstelle 1. Ordnung zielsicher berechnen?
Die läuft üblicherweise mit einer Parabel dritter Ordnung. Du hast also eine Funktion , setzt die vier Punkte ein, erhältst vier Gleichungen mit den Unbekannten und kannst das entstehende Gleichungssystem mit den bekannten Verfahren lösen. Die Nullstellen kubischer Funktionen werden mit den Cardanischen Formeln gelöst. Solange nicht Null ist, muss eine Nullstelle erster Ordnung auftreten. Viele Grüße Steffen |
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| 26.01.2022, 18:11 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Polynom aus Lagrange: Nullstelle 1. Ordnung zielsicher berechnen?
Nicht unbedingt, wenn es eine Nullstelle 3. Ordnung gibt: Allgemeiner, es muss mindestens eine reelle Nullstelle geben. Daneben kann es entweder keine oder 2 weitere oder eine doppelte reelle Nullstellen geben. Ob eine bereits bekannte Nullstelle von höherer Ordnung ist, kann mittels der 1. Ableitung geprüft werden, denn die Ableitung ist an dieser Stelle ebenfalls gleich Null. Die 1. Ableitung an der Stelle 2 ist Null (hier --> rel. Extremstelle) mY+ |
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