Rekursionsformel für Binomialkoeffizienten

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TheWind5urfer Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursionsformel für Binomialkoeffizienten
Meine Frage:
Beweisen Sie unter Nutzung des binomischen Lehrsatzes die Rekursionsformel
fur Binomialkoeffizienten

Diese Frage haben wir zz auf unserem Übungsblatt und ich weiß leider gar nicht weiter. Hat jemand einen Ansatz?

Meine Ideen:
Wie gesagt, erstmal gar keinen Ansatz :/
TheWind5urfer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweisen Sie unter Nutzung des binomischen Lehrsatzes die Rekursionsformel fur Binomialkoeffizie
Ich entschuldige mich im vorhinein für den Doppelpost!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte auf und auf den binomischen Lehrsatz anwenden und über



einen Koeffizientenvergleich der Polynome durchführen. Da ist noch ein wenig Indexverschieberei dabei. Aber so sollte es gehen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenne übrigens mehrere Rekursionsformeln für Binomilakoeffizienten, und würde jetzt keine von denen als ausgezeichnete "die Rekursionsformel" bezeichnen. Laut Definition des Binomialkoeffizienten könnte das z.B. auch die sein:

für , und mit Startwerten .
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Aus dem Grund nenne ich "die" Rekursionsformel in meinem persönlichen Sprachgebrauch auch "Regel vom Pascalschen Dreieck". Wobei Spitzfindige sofort bemerken würden, daß ihnen auch dort mindestens 358 weitere Regeln einfallen. Augenzwinkern
TheWind5urfer Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antwort erstmal! Allerdings bin ich mir gerade unsicher, wie du auf die



kommst! Ist das die Abschätzung des Binomialkoeffizienten?
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist einfach ein Ansatz. Es heißt doch, daß du den binomischen Lehrsatz verwenden sollst. Dann tu das einfach mal:



TheWind5urfer Auf diesen Beitrag antworten »



Soll damit übrigens bewiesen werden. Das stand wunderbar klein in der Übung davor^^
TheWind5urfer Auf diesen Beitrag antworten »

Also mit deinem Ansatz komme ich dann auf:




und

...

Richtig? Und weiter?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Steht eigentlich klar und deutlich oben da:

Zitat:
Original von Leopold
Man könnte auf und auf den binomischen Lehrsatz anwenden und über



einen Koeffizientenvergleich der Polynome durchführen.

Deine letzten Erkenntnisse eingesetzt bekommst du damit .

Jetzt noch rechts ausmultiplizieren und nach -Potenzen zusammenfassen.
TheWind5urfer Auf diesen Beitrag antworten »

Also vielen Dank erstmal, das war ein super Ansatz und ich konnte es soweit gut verstehen. Nur eine Sache fehlt mir. Ich komme auf



Damit habe ich ja fast die rechte Seite meiner gesuchten Gleichung. Auf der linken Seite muss aber ja stehen



Wie mache ich das? Das habe ich ja noch nicht gezeigt...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TheWind5urfer


Fehler!
TheWind5urfer Auf diesen Beitrag antworten »

Dann müssten es sein, habe ich recht?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
TheWind5urfer Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wie schließe ich jetzt daraus auf die (n+1) über (k+1)? Das verstehe ich nicht...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das brauchst du nicht. Du bist schon fertig, hast es aber noch nicht bemerkt. Ich weiß nicht, ob ich dir den letzten Denkanstoß auch noch geben soll. Vielleicht kommst du ja selber drauf.
TheWind5urfer Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen Dank Leopold für die Geduld! Ich wäre für den letzten Hinweis dankbar smile Ich glaube, ich kann es mir denken, bin mir aber nicht sicher...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Anders herum. Erst du, dann ich.
TheWind5urfer Auf diesen Beitrag antworten »

In Ordnung. Wir haben ja im Prinzip gezeigt, dass letztenendes gleich entspricht, richtig? Definieren wir jetzt einfach k=k+1, bekommen wir ja im Prinzip unsere gesuchte Gleichung.

Wahrscheinlich dumm gedacht, aber ich lasse es mal darauf ankommen...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so ist es.

Ob du sagst:



oder ob du sagst:



bleibt sich gleich. Man hat ja bloß durch zu substituieren.

Manchmal sind Schüler verwirrt, wenn man einmal sagt:

Die Parabel hat ihren Scheitel bei

und ein andermal:

Die Parabel hat ihren Scheitel bei

Und dann sagt der Lehrer auch noch, das sei dasselbe. Da verstehen sie die Welt nicht mehr.
TheWind5urfer Auf diesen Beitrag antworten »

Dann nochmal vielen Dank Big Laugh

Tatsächlich bin ich angehender Lehrer. Heute hat mir auf jeden Fall mehr gebracht als so mancher Vorlesungstag...Und wieder Spaß an mehr Mathe gebracht!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst dir ja jetzt noch zusätzlich überlegen, wie man



für ganzzahlige , aber sogar beliebig (!) reelle nachweisen kann. Dazu bedarf es natürlich einer allgemeineren Binomialkoeffizienten-Definition als der über Fakultäten, die lautet üblicherweise

,

wobei man für einheitlich setzt.

EDIT: Danke an Leopold für den Hinweis auf diesen Fehler bei k=0.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
wobei man für einheitlich setzt.


Augenzwinkern
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