Idealnormen in Z[sqrt(10)]

22.11.2021, 17:12

Malcang

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Idealnormen in Z[sqrt(10)]

Hallo zusammen,

ich befasse mich gerade in Globaler Klassenkörpertheorie mit der Frage, welche natürlichen Zahlen Idealnormen in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ [ $\begin{eqnarray*} \sqrt{10} \end{eqnarray*}$ ] sind.
Dabei stellt sich folgende Frage: Ist $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ Idealnorm, wie testet man, ob es die Norm eines Hauptideals ist.

Nun, wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Idealnorm ist, dann gilt also $\begin{eqnarray*} n = a^2-10b^2 \end{eqnarray*}$ für ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ .
Aber wie stelle ich nun fest, ob es Norm eines Hauptideals ist? verwirrt

verwirrt

22.11.2021, 18:20

Elvis

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$\begin{eqnarray*} x=a+b\sqrt{10}\Rightarrow n=N(x)=N((x))=a^2-10b^2 \end{eqnarray*}$

Wenn dem so ist, dann weiß ich nicht, ob die Frage sinnvoll gestellt ist.

Wenn es Ideale gibt, die keine Hauptideale sind (und die gibt es), was sollen dann a und b sein ? Und wie ist deren Norm definiert ?

22.11.2021, 18:44

Malcang

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Hallo Elvis,

vielen Dank dass du dir die Zeit nimmst. Leider kann ich deine Fragen nicht beantworten. Diese Veranstaltung ist für mich wirklich zu undurchsichtig, aber ich würde es halt gerne verstehen.
Trotzdem danke für den Einwand, ich hatte gehofft, ich könnte die Ausführungen auf meine Frage leichter verstehen.

22.11.2021, 19:16

Elvis

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Zahlentheorie ist und bleibt schwierig. Ich versuche seit fast 50 Jahren, Klassenkörpertheorie zu verstehen. Immer wenn ich etwas verstanden habe, tauchen neue Probleme auf, und wenn ich etwas verstanden habe, kann ich es noch lange nicht anwenden.
Soviel ich weiß, sind Normen von Zahlen die Produkte der adjungierten Zahlen. Normen von Idealen sind die Produkte der Normen der Primideale, die das Ideal teilen. Die Norm eines Primideals ist die Mächtigkeit des Restklassenkörpers, das geht in Ganzheitsbereichen von algebraischen Zahlkörpern, weil Primideale in Dedekindringen maximal sind. Was lehrt uns das ? Wie wenden wir das an ??

Ach ja, die Klassenzahl von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{10}) \end{eqnarray*}$ ist gleich 2. Nicht jedes Ideal ist Hauptideal, deshalb fangen hier die Probleme an.

22.11.2021, 19:30

Malcang

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Zitat:

Original von Elvis
Was lehrt uns das ? Wie wenden wir das an ??

Ich weiß nicht genau ob es das ist, worauf du hinauswillst.
Aber sei $\begin{eqnarray*} (x) \end{eqnarray*}$ ein Ideal und sei $\begin{eqnarray*} x = p_1\cdots p_k. \end{eqnarray*}$ Dann gilt $\begin{eqnarray*} |(x)| = |(p_1)|\cdots |(p_k)| \end{eqnarray*}$ .

Edit: Ach nein, das hast du ja einen Satz vorher gesagt. Hm.... Was lehr uns das? verwirrt

verwirrt

22.11.2021, 19:39

Elvis

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Die Tatsache, dass die Klassenzahl größer als 1 ist, lehrt uns, dass nicht alle Ideale Hauptideale sind. Zahlen haben die Form $\begin{eqnarray*} a+b\sqrt{10} \end{eqnarray*}$ und die Norm $\begin{eqnarray*} a^2-10b^2 \end{eqnarray*}$ . Ideale, die keine Hauptideale sind, haben auch Normen, aber die sind anders. Die anderen Ideale müssen wir erst einmal finden, und dann müssen wir ihre Normen berechnen - wie geht das ???

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22.11.2021, 19:39

Malcang

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Ah, jede auftretende Norm sollte dann ja Teiler dieser Mächtigkeit sein. Meinst du das?

Edit: Du hast genau in diesem Moment geantwortet. Dieser mein Beitrag bezieht sich also noch auf deinen vorhergehenden. Ich möchte ihn aber nicht löschen, werde mir jetzt aber deinen neuen Beitrag ansehen.

22.11.2021, 19:45

Malcang

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Boah, also ich nehme an für jemanden der das verinnerlicht hat sind deine Antworten schon ziemlich offensichtlich. Für mich ist es nach wie vor schwierig hier zu laufen. Ich sehe absolut keine Zusammenhänge.
Da die Klassenzahl ja größer als 1 ist gibt es Elemente, deren Primfaktorzerlegung nicht mehr eindeutig ist.

22.11.2021, 19:52

Elvis

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Ja, so ist es. UND es gibt eben Primideale, die KEINE Hauptideale $\begin{eqnarray*} (x) \end{eqnarray*}$ sind, und deren Norm ist ein echter Teiler von $\begin{eqnarray*} N(p)=N(a+b\sqrt{10})=a^2-10b^2 \end{eqnarray*}$ für eine Primzahl $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ . Und alle deren Produkte sind Ideale, und die Hälfte davon sind KEINE Hauptideale, das genau sagt die Klassenzahl 2. Gruppentheoretisch ist die Klassenzahl der Index der Untergruppe der Hauptideale in der Gruppe der Ideale.

22.11.2021, 19:57

Malcang

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Ok, wenn ich das richtig sehe sind wir jetzt also nicht mehr allzu weit davon entfernt.
Ich sehe nur noch nicht die Richtung, denn das die Hälfte Keine Hauptideale sind sagt mir ja nicht, dass genau jedes zweite ein Hauptideal ist, richtig?
Von daher ist die Suche nach den Normen der Hauptideale doch hier noch nicht zu Ende, sehe ich das richtig? : verwirrt

verwirrt

22.11.2021, 20:43

Elvis

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Index 2 heißt tatsächlich die Hälfte, also jedes zweite Ideal ist ein Hauptideal. Aber was genau bedeutet das bei unendlich vielen Idealen? Das Problem bleibt noch immer, zu entscheiden, welche natürlichen Zahlen Idealnormen sind und welche nicht. Ich konnte bisher nur darauf hinweisen, dass Idealnormen nicht immer Hauptidealnormen einer bestimmten Form sind. Ich sagte ja bereits, dass ich manchmal etwas verstehe aber meistens nichts damit anzufangen weiß.
Gib nicht auf und halte mich bitte über Fortschritte auf dem laufenden.

22.11.2021, 20:58

Malcang

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Und für all' diese Hinweise bin ich dir sehr dankbar. Ich finde es schön dass auf diese Art auch eine Diskussion entsteht, auch wenn ich denke, dass ich auf deinem Level noch lange nicht mithalten kann. Aber der Weg ist das Ziel, wie so oft Big Laugh

Big Laugh

In diesem Sinne bedanke ich mich nochmal ganz herzlich an dieser Stelle, gehe gleich schlafen und würde mich gerne morgen wieder melden smile

smile

22.11.2021, 22:03

Elvis

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Habe schnell mal bei Neukirch nachgeschaut und komme auf die Zerlegung der Primzahlen in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt {1 0}) \end{eqnarray*}$
(1) Diskriminantenteiler 2 und 5 sind verzweigt, $\begin{eqnarray*} 2=r^2, N(r) =2,5=s^2 ,N(s)=5 \end{eqnarray*}$
(2) Primzahl p zerlegt gdw 10 quadratischer Rest mod p
(3) Primzahl q träge gdw 10 quadratischer Nichtrest mod q
(2) gdw p=xy, x und y Primideale mit Norm p
(3) gdw q=x, x Primideal mit Norm q^2

Also unabhängig von der Klassenzahl (hier 2) bestimmt die Diskriminante das Zerlegungsverhalten in quadratischen Zahlkörpern vollständig. Für deine Frage heißt das, dass n keine Norm eines Ideals ist gdw eine Primzahl q (siehe 3) mit ungerader Potenz in n enthalten ist.

Zur Berechnung der Fälle (2) und (3) benutzt man das quadratische Reziprozitaetsgesetz.

22.11.2021, 23:02

Malcang

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Elvis, ich danke dir vielmals dass du dir um diese Zeit noch diese Mühen machst.
Das werde ich mir morgen ausführlich anschauen. Vielen Dank und gute Nacht smile

smile

23.11.2021, 08:13

Elvis

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Gern geschehen, das war kein großer Aufwand. Eine Antwort auf die Frage, wie Hauptideale von Nichthauptidealen zu unterscheiden sind, ist mir noch nicht bekannt.

Zufällig habe ich vor zwei Jahren ein kleines Programm geschrieben, das u.a. Zerlegungen kleiner Primzahlen in quadratischen Zahlkörpern berechnet.

23.11.2021, 13:28

Elvis

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Also sind in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt {10}) \end{eqnarray*}$ von den Zahlen 1 bis 100 genau die Zahlen
7,11,14,17,19,21,22,23,28,29,33,34,35,38,42,44,46,47,
51,55,56,57,58,59,61,63,66,68,69,70,73,76,77,84,85,87,88,91,92,94,95,97,99 keine Idealnormen.

Für die anderen quadratischen Zahlkörper der Liste darfst du die Normen und Nichtnormen selbst austüfteln.

24.11.2021, 23:10

Malcang

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Hallo Elvis,

leider hab' ich es gestern zeitlich nicht mehr geschafft.
Wir haben mit unserem Prof. darüber diskutiert und ich würde die Ergebnisse gerne in Reinform bringen und sie hier präsentieren. Das mache ich in Ruhe, daher wird das nicht mehr heute sein Big Laugh

Big Laugh

Aber deine Ausführungen haben uns bei der Diskussion weit gebracht, weshalb ich mich nochmals bedanken will.

25.11.2021, 08:25

Elvis

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Du hast nicht mehr viel zu tun. Die vollständige Antwort auf die Frage, welche natürlichen Zahlen Idealnormen in quadratischen Zahlkörpern sind und welche nicht , steht in Reinform in meinem Beitrag vom 22.11.2021 22:03
Alles andere war unnötiges weil nicht zielführendes Denken vorher und die Ausführung eines Beispiels hinterher.
Um meine Zerlegungstabelle für Primzahlen lesen zu können solltest du wissen, dass ich mit geklammerten Primzahlen die Primideale bezeichnet habe, die die Primzahlen teilen. Nur für träge Primzahlen sind das die Primzahlen selbst, sonst echte Teiler, die Hauptideale sein können oder auch nicht. Zum Beispiel heißt 3=(3)(3)', dass 3 zerlegt, also das Produkt von 2 Primidealen ist und 7=((7)) heißt, dass 7 träge ist, also das Hauptideal (7) der einzige Primteiler von 7 ist und die Norm 49 hat.
Wenn du noch Fragen hast oder Details zu Beweisen der Aussagen oder zu konkreten Berechnungen wissen möchtest, helfe ich gerne weiter.

26.11.2021, 09:57

Malcang

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Guten Morgen Elvis,

ja stimmt, dann brauche ich meine Mitschriften nicht mehr hochladen, oder?
Ich wollte nicht dass der Eindruck entsteht, dass ich mir deine Hilfe hole, damit in der Übung glänze aber darüber hinaus niemanden teilhaben lasse.
Aber neues Wissen käme für dich wohl wirklich nicht mehr dabei raus.
Wirklich ganz schön schwer muss ich sagen geschockt

geschockt

26.11.2021, 10:19

Elvis

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Auch wenn wir eine Lösung haben, bin ich nie zufrieden. Es gibt immer viele Wege, wie man zu einer Lösung kommen kann, und auf jedem Weg lernt man dazu. Ich würde es begrüßen, wenn du noch etwas dazu beiträgst, und ich würde es mir genau ansehen.

Deine Einschätzung, dass Zahlentheorie nicht trivial ist, halte ich für richtig. Franz Lemmermeyer hat in der Reihe Springer Spektrum 2017 "Quadratische Zahlkörper, Eine Einführung mit vielen Beispielen" veröffentlicht. Wir wissen noch lange nicht alles, nicht einmal über diese einfachsten aller Zahlkörper, und es gibt noch unendlich viel zu tun ... packen wir's an.

26.11.2021, 14:47

Malcang

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Dann möchte ich das auch machen, aber dann nicht mehr priorisiert. Dafür sitzen mir aktuell die Veranstaltungen an sich zu sehr im Nacken geschockt

geschockt

Das ist auch das, was mich am Studium am meisten ärgert. Es bleibt bei dem Druck überhaupt nicht mehr die Möglichkeit, die Faszination Mathematik genug auskosten zu können.

26.11.2021, 17:49

Elvis

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Lies jetzt das, was dein Professor empfiehlt und das, was dich am meisten interessiert. Die folgenden 35-40 Jahre Knechtschaft wirst du nicht genug Zeit dafür haben. Nach dem Ende der Fronarbeit wird es wieder besser. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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