Varianz berechnen

22.11.2021, 17:44	yd010398	Auf diesen Beitrag antworten »
Varianz berechnen Meine Frage: Hi ich habe folgende Aufgabe: Die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} X_{1},\ldots,X_{n} \end{eqnarray}$ sind unabhängig und alle $\begin{eqnarray} X_{i} \end{eqnarray}$ sind auf dem Intervall $\begin{eqnarray} \lbrack \theta-0.5,\theta+0.5\rbrack \end{eqnarray}$ gleichverteilt. Ich soll die Varianz von $\begin{eqnarray} \max\nolimits_{1\leq i\leq n} X_{i} + \min\nolimits_{1\leq j\leq n} X_{j} \end{eqnarray}$ berechnen. Meine Ideen: Als Hinweis wurde gegeben, dass ich Eulers Beta Funktion verwenden soll, allerdings weiß ich nicht, wie mir das weiterhelfen soll und finde auch keinen Ansatz.
23.11.2021, 08:53	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde folgende Strategie vorschlagen: 1) Bestimmen der gemeinsamen Verteilung (Dichte) von $\begin{eqnarray} U=\min\limits_{1\leq i\leq n} X_i-\theta \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V=\max\limits_{1\leq i\leq n} X_i-\theta \end{eqnarray}$ . 2) Bestimmen der Dichte von $\begin{eqnarray} W=U+V \end{eqnarray}$ per Faltungsintegral . 3) Berechnung von Erwartungswert und Varianz und $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ mittels 2). 4) Für die von dir zu betrachtende Größe $\begin{eqnarray} Y = \min\limits_{1\leq i\leq n} X_i + \max\limits_{1\leq i\leq n} X_i \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} Y = W + 2\theta \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} E[Y] = E[W] + 2\theta \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} V[Y] = V[W] \end{eqnarray}$ . Der Hinweis wird vermutlich bei den Integralauswertungen 3) zum Zuge kommen. Bis dahin ist aber noch ein Stück Wegstrecke so zurückzulegen. Für 1) gebe ich schon mal Starthilfe: Für $\begin{eqnarray} -0.5\leq u \leq v\leq 0.5 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} P\left(u<U,V\leq v\right) \stackrel{!}{=} \prod_{i=1}^n P\left(u<X_i-\theta\leq v\right) = (v-u)^n \end{eqnarray}$ und damit Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F_{U,V}(u,v) = P\left(U\leq u, V\leq v\right) = P\left(V\leq v\right)- P\left(u<U,V\leq v\right) = (v+0.5)^n - (v-u)^n \end{eqnarray}$ . EDIT: Kleine Modifikation mit der Subtraktion von $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ , die dient dazu, massig Schreibarbeit in der Rechnung zu sparen.

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