Herleitung der Exponentialfunktion

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chrisi32100 Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung der Exponentialfunktion
Meine Frage:
Kann mir mal einer erklären, wie man bei der Exponentialfunktion von der
Binomdarstellung e^x=(1+x/n)^n mit n->oo auf die Reihendarstellung
e^x=Summe(x^i/i!) mit i=0 bis oo kommt?
Ich habe hierzu bislang nichts gefunden.

Meine Ideen:
Eventuelle könnten die Binomialkoeffizienten weiterhelfen.
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

- Viel sinnigere Antwort von Leopold weiter unten -
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ein direkter Nachweis geht über den binomischen Lehrsatz. Nehmen wir ein . Dann gilt:



Für kann man umformen:







Das ergibt:



Stell dir nun ein großes vor, sagen wir fürs erste mal . Schauen wir uns die ersten Summanden für an:







Und bei sähen diese Summanden so aus:







Je größer wird, desto besser passen sich immer mehr Anfangssummanden den Anfangssummanden der Reihe an (die Summanden für und stimmen von vorneherein schon).

Strenge Beweise findest du in vielen Lehrbüchern der Analysis.
chrisii32100 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Strenge Beweise findest du in vielen Lehrbüchern der Analysis.


Kannst Du mir mal einige bennen, damit ich da mal nachschlagen kann?

Wenn, ich dann den "+" Operator durch den "-" Operator ersetze erhalte ich dann die Funktion:

f(x)=sin(x)+cos(x) ?
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