Verschoben! Zusammengesetzte Exponentialfunktion integrieren

22.11.2021, 22:19

gnt

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Zusammengesetzte Exponentialfunktion integrieren

Hallo allerseits,

leider weiß ich nicht, wie ich das lösen könnte, oder ob es für solche Integrale überhaupt eine analytische Lösung gibt. Könntet Ihr Euch das bitte einmal ansehen?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int_0^{\pi } \sin (\theta ) \exp \left(a b \cos (\theta ) \sqrt{A^2-2 A B \cos (\theta )+B^2}\right) \, d\theta \end{eqnarray*}$

Es sind A, B, a und b reelle Zahlen, und A und B sind größer als 0.

Mathematica liefert mir leider kein Ergebnis.
Wo/wie kann ich ansetzen?

Bereits im Voraus vielen Dank!

Gruss

gnt

22.11.2021, 22:52

mYthos

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Die Funktion dürfte sich nicht geschlossen (algebraisch) integrieren lassen.
Mit entsprechenden Werten für die Konstanten ist eine näherungsweise Integration durchführbar.
Die Nullstellen befinden sich jedenfalls in Abständen von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ vom Nullpunkt aus.

Solcherart ist dies kaum ein Thema für die Schulmathematik, daher war der Thread zu verschieben.

[attach]54034[/attach]

mY+

22.11.2021, 23:33

gnt

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Vielen Dank für Deine Antwort!
Schade. Wenn das nicht möglich ist, gibt es dann z.B. eine Methode zur Reihenentwicklung der Exponentialfunktion, bei der ich die Genauigkeit "festlegen" kann, also, in der Form, dass ich n Terme brauche, um eine Genaugkeit von m Stellen zu erhalten? Oder hilft da nur für verschiedene Parameter Ausprobieren?

23.11.2021, 00:02

mYthos

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Ich habe bereits bei den 4 Konstanten A, B, a, b mittels ab --> a, A²+B² --> c und 2AB =--> b die Funktion und damit auch den Wurzelausdruck in eine kompaktere Form gebracht.
Dennoch würden bei einer Reihenentwicklung der e-Funktion (und übrigens auch der Winkelfunktionen) die Folgenglieder sehr komplex und daher die Reihe noch monströser werden, als die Funktion ohnehin schon ist.

Woher stammt denn übrigens dieses Gebilde?

Wie schon aus der o.a. Grafik ersichtlich, geht es gut, die Konstanten mit entsprechenden Werten zu belegen und damit das bestimmte Integral näherungsweise* zu berechnen.

(*) Methoden dazu gibt es verschiedene ...

mY+

23.11.2021, 10:35

HAL 9000

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Was auffällt ist, dass sich das Integral durch Substitution $\begin{eqnarray*} t=\cos(\theta) \end{eqnarray*}$ in ein m.E. einfacher strukturiertes Integral überführen lässt: $\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{2} \int\limits_{-1}^1 \exp\left(abt\sqrt{A^2-2ABt+B^2}\right) ~ \dd t \end{eqnarray*}$

Das kann ich zwar auch nicht auflösen, es scheint aber dank fehlender trigonometrischer Terme schneller numerisch berechenbar zu sein.

Was die Variablenreduktion betrifft:

1) Für $\begin{eqnarray*} ab\geq 0 \end{eqnarray*}$ bekommen wir

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{2} \int\limits_{-1}^1 \exp\left(t\sqrt{\left(A^2+B^2\right)a^2b^2-2ABa^2b^2t}\right) ~ \dd t = \frac{1}{2} \int\limits_{-1}^1 \exp\left(t\sqrt{C+Dt}\right) ~ \dd t \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} C:=\left(A^2+B^2\right)a^2b^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D:=-2ABa^2b^2 \end{eqnarray*}$ .

2) Für $\begin{eqnarray*} ab<0 \end{eqnarray*}$ substituieren wir zunächst $\begin{eqnarray*} u=-t \end{eqnarray*}$ und bekommen damit

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{2} \int\limits_{-1}^1 \exp\left(-abu\sqrt{A^2+2ABu+B^2}\right) ~ \dd u = \frac{1}{2} \int\limits_{-1}^1 \exp\left(u\sqrt{\left(A^2+B^2\right)a^2b^2+2ABa^2b^2u}\right) ~ \dd u = \frac{1}{2} \int\limits_{-1}^1 \exp\left(t\sqrt{C+Dt}\right) ~ \dd t \end{eqnarray*}$

hier mit $\begin{eqnarray*} C:=\left(A^2+B^2\right)a^2b^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D:=2ABa^2b^2 \end{eqnarray*}$ .

1) und 2) kann man auch gemeinsam schreiben:

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{2} \int\limits_{-1}^1 \exp\left(t\sqrt{C+Dt}\right) ~ \dd t \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} C:=\left(A^2+B^2\right)a^2b^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D:=-2ABab|ab| \end{eqnarray*}$ .

Aufgrund der Ausgangsparameter A,B,a,b ist klar, dass wir nur $\begin{eqnarray*} C,D \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} C\geq |D| \end{eqnarray*}$ betrachten müssen - was auch nötig ist, damit der Integrand stets definiert ist.

23.11.2021, 11:36

gnt

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Mit numerischer Integration habe ich es bisher versucht, aber ich vertraue den Ergebnissen nicht so recht, weil ich 10, besser 11 Stellen Genauigkeit haben will, und auch noch viele dieser Integrale aufaddiert werden sollen.

Das eigentliche Problem ist etwas umfangreicher, und ich habe das vereinfacht (und hoffe, dass mir kein Fehler unterlaufen ist). Ich beschreibe es:

Hier verwende ich die Symbole A, B, a und b für 3er-Vektoren, die ich dann zu Skalaren vereinfacht habe.
Die Berechnung erfolgt in 3 Dimensionen; a und b sind Vektoren, die an den Orten A und B in der XY-Ebene liegen (also, die z-Koordinate ist für alle vier Variablen immer 0).
Es gilt die Funktion exp(norm(B-A)ab).
Jetzt möchte ich alle relativen Drehungen von einerseits A und a, sowie andererseits B und b für Eulermatrizen E aufintegrieren und normieren:
$\begin{eqnarray*} \int_{E_a} \int_{E_b} \exp \left(norm(E_b B-E_a A)E_a a E_b b\right) \end{eqnarray*}$

Da gibt es etliche Symmetrien, wodurch ich 5 der 6 Integrale los geworden, und eben bei der Formel in meinem ersten Beitrag gelandet bin.

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23.11.2021, 12:18

gnt

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@HAL9000: Das Ersetzen ist eine gute Idee. Vielen Dank!
Dann sollte man mit geeigneter Fallunterscheidung alles in die Wurzel bringen können.
Ich habe jetzt nachgesehen, aber nichts gefunden: Kann man exp(sqrt(x)) vereinfachen? - Ich bin so furchtbar schlecht in Mathe... ich dachte an so etwas wie exp(x^2)=exp(x)^x, aber eben für die Wurzel; scheint aber nicht zu gehen.

23.11.2021, 14:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von gnt
Wenn das nicht möglich ist, gibt es dann z.B. eine Methode zur Reihenentwicklung der Exponentialfunktion

Kann man versuchen... Vorher noch etwas umparametrisieren $\begin{eqnarray*} \alpha=\sqrt{C} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta=\frac{D}{C} \end{eqnarray*}$ mit dann sicherem $\begin{eqnarray*} |\beta|\leq 1 \end{eqnarray*}$ , dann bekommen wir

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{2} \int\limits_{-1}^1 \exp\left(\alpha t\sqrt{1+\beta t}\right) ~ \dd t = \frac{1}{2} \int\limits_{-1}^1 \exp\left(\alpha t\sum_{k=0}^{\infty} \binom{\frac{1}{2}}{k} (\beta t)^k \right) ~ \dd t = \frac{1}{2} \int\limits_{-1}^1 \exp\left(\sum_{k=0}^{\infty} \binom{\frac{1}{2}}{k} \alpha\beta^k t^{k+1} \right) ~ \dd t \end{eqnarray*}$ .

Diese Ungetüm $\begin{eqnarray*} z=\sum_{k=0}^{\infty} \binom{\frac{1}{2}}{k} \alpha\beta^k t^{k+1} \end{eqnarray*}$ nun in die Exponentialreihe $\begin{eqnarray*} \exp(z) = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{z^j}{j!} \end{eqnarray*}$ eingesetzt ergibt dann langsam ziemlich üble Cauchyprodukt-Potenzen.

Wenn man es irgendwie geschafft hat, auf diese Weise eine Reihendarstellung in $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ des Integranden hinzukriegen, ist der Rest dann natürlich nicht mehr schwer:

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{2} \int\limits_{-1}^1 \sum_{i=0}^{\infty} a_i t^i ~ \dd t = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{a_{2i}}{2i+1} \end{eqnarray*}$ .

Knackpunkt ist hier tatsächlich die $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ -Reihenentwicklung von $\begin{eqnarray*} z^j \end{eqnarray*}$ per iteriertem Cauchyprodukt

$\begin{eqnarray*} z^j = z^{j-1}\cdot z = z^{j-1}\cdot \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\frac{1}{2}}{k} \alpha\beta^k t^{k+1} \end{eqnarray*}$

Ich hab keine Ahnung, ob sich der Aufwand dafür lohnt im Vergleich zur gewöhnlichen numerischen Integralauswertung - kannst du ja erforschen.

23.11.2021, 14:30

Finn_

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Die Substitution $\begin{eqnarray*} u = \sqrt{C+Dt} \end{eqnarray*}$ hat $\begin{eqnarray*} \mathrm dt = \frac{2u}{D}\mathrm du \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t=\frac{u^2-C}{D}. \end{eqnarray*}$ Sie führt zu

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{2}\int_{-1}^{1} \exp(t\sqrt{C+Dt})\,\mathrm dt = \frac{1}{D}\int_{\sqrt{C-D}}^{\sqrt{C+D}} u\exp\left(\frac{u^3}{D}\right)\exp\left(-\frac{Cu}{D}\right)\,\mathrm du. \end{eqnarray*}$

Zur Stammfunktion findet man nun die Rechnung

$\begin{eqnarray*} \int x\exp(ax^3)\exp(bx)\,\mathrm dx = \int x\sum_{k=0}^\infty \frac{a^k x^{3k}}{k!}\sum_{l=0}^\infty \frac{b^l x^l}{l!}\,\mathrm dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum_{k=0}^\infty\sum_{l=0}^\infty \int\frac{a^k b^lx^{3k+l+1}}{k!l!}\,\mathrm dx = x^2\sum_{k=0}^\infty\sum_{l=0}^\infty \frac{(ax^3)^k (bx)^l}{(3k+l+2)k!l!}. \end{eqnarray*}$

23.11.2021, 14:42

HAL 9000

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In dem Fall muss ich zu meinem letzten Beitrag sagen: Warum einfach, wenn es kompliziert geht. Big Laugh

Big Laugh

Danke an Finn für diese Idee, das reduziert die Cauchy-Produkt-Orgie auf erträgliche Maße.

23.11.2021, 17:27

Finn_

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Eine explizite Formel für die Koeffizienten der Potenzreihe erhält man vermittels der Umformung

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty\sum_{l=0}^\infty \frac{(ax^3)^k (bx)^l}{(3k+l+2)k!l!} = \sum_{k=0}^\infty\sum_{n=0}^\infty\sum_{l=0}^\infty \frac{a^k b^l x^n}{(n+2)k!l!}[n=3k+l] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n+2}\sum_{k=0}^\infty \frac{a^k b^{n-3k}}{k!(n-3k)!}[n-3k\ge 0] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n+2}\sum_{k=0}^{\lfloor n/3\rfloor} \frac{a^k b^{n-3k}}{k!(n-3k)!}. \end{eqnarray*}$

23.11.2021, 18:11

gnt

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Vielen Dank für Deine Antworten, Finn!
Ich habe diese Ersetzungen inzwischen nachvollzogen und durchgeführt.
Aus
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{D}\int_{\sqrt{C-D}}^{\sqrt{C+D}} u \exp \left(\frac{u^3}{D}\right) \exp \left(-\frac{C u}{D}\right) \, du \end{eqnarray*}$
wird
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{D}\sum _{k=0}^{\infty } \sum _{l=0}^{\infty } \frac{(-1)^l C^l D^{-k-l}}{k! l!} \int_{\sqrt{C-D}}^{\sqrt{C+D}} u^{3 k+l+1} \, du \end{eqnarray*}$
Das integral darin ergibt
$\begin{eqnarray*} \frac{(C+D)^{\frac{1}{2} (3 k+l+2)}-(C-D)^{\frac{1}{2} (3 k+l+2)}}{3 k+l+2} \end{eqnarray*}$

Insgesamt sollte sich also ergeben:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{D}\sum _{k=0}^{\infty } \sum _{l=0}^{\infty } \frac{(-1)^l C^l D^{-k-l}}{(3 k+l+2) (k! l!)} \left((C+D)^{\frac{1}{2} (3 k+l+2)}-(C-D)^{\frac{1}{2} (3 k+l+2)}\right) \end{eqnarray*}$

Das sieht schon recht gut aus.
Die Summen werde ich wohl nicht mehr weg kriegen, aber ich versuche es noch.

23.11.2021, 20:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von gnt
Die Summen werde ich wohl nicht mehr weg kriegen, aber ich versuche es noch.

Das wird dir kaum gelingen. Aber ich würde mich an deiner Stelle um eine Abschätzung des Doppelreihenrests nach oben bemühen, d.h., der Rest der bleibt, wenn man beide Doppelsummen nur bis zu gewissen vorgegebenen Indizes auswertet.

24.11.2021, 07:24

Finn_

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Die Reihe ist leider schwierig zu handhaben. Das folgende leicht portierbare Programm ohne Abhängigkeiten liefert für »gutartige« Argumente 14, 15 Stellen Genauigkeit mittels Gauß-Legendre-Quadratur mit 10*16 Stützstellen, wobei man die aber auch notfalls auf 1*16 herabsetzen kann, falls es zu langsam sein sollte. Ich habe das Integral bezüglich der Substitution $\begin{eqnarray*} u=\sqrt{C+Dt} \end{eqnarray*}$ genutzt, weil $\begin{eqnarray*} \exp(t\sqrt{C+Dt}) \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} t=1 \end{eqnarray*}$ beliebig hohen Anstieg haben kann, was der Quadratur missliebig ist.

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
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25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:
33:
34:
35:
36:
37:
38:
39:
40:
41:

from math import sqrt, exp

GL16 = [
    [-0.9894009349916499, 0.02715245941175403],
    [-0.9445750230732326, 0.06225352393864787],
    [-0.8656312023878316, 0.09515851168249286],
    [-0.7554044083550031, 0.1246289712555339],
    [-0.6178762444026438, 0.1495959888165767],
    [-0.4580167776572274, 0.1691565193950026],
    [-0.2816035507792589, 0.1826034150449236],
    [-0.09501250983763745,0.1894506104550685],
    [ 0.09501250983763745,0.1894506104550685],
    [ 0.2816035507792589, 0.1826034150449236],
    [ 0.4580167776572274, 0.1691565193950026],
    [ 0.6178762444026438, 0.1495959888165767],
    [ 0.7554044083550031, 0.1246289712555339],
    [ 0.8656312023878316, 0.09515851168249286],
    [ 0.9445750230732326, 0.06225352393864787],
    [ 0.9894009349916499, 0.02715245941175403]
]

def quad(a, b, f, n):
    s = 0; h = (b - a)/n; p = 0.5*h
    for j in range(0, n):
        sj = 0; q = p + a + j*h
        for t in GL16:
            sj += t[1]*f(p*t[0] + q)
        s += p*sj
    return s

def I_CD(C, D, n = 10):
    u0 = sqrt(C - D); u1 = sqrt(max(0, C + D))
    return 1/D*quad(u0, u1, lambda u: u*exp((u**3 - C*u)/D), n)

def I_ABab(A, B, a, b, n = 10):
    C = (A*A + B*B)*a*a*b*b
    D = -2*A*B*a*b*abs(a*b)
    return I_CD(C, D, n)

print(I_ABab(A = 1, B = 1, a = 1, b = 1))

24.11.2021, 08:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von Finn_
Die Reihe ist leider schwierig zu handhaben.

Hmm, verstehe ich jetzt nicht, wie du das meinst. Ich hätte jetzt einfach an Näherungswert $\begin{eqnarray*} x^2\sum_{k=0}^K \sum_{l=0}^L \frac{(ax^3)^k (bx)^l}{(3k+l+2)k!l!} \end{eqnarray*}$ gedacht und Abschätzung des Doppelreihenrests $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ gemäß üblicher Technik (Abschätzung des Reihenrest der Exponentialverteilung durch eine Geometrische Reihe):

$\begin{eqnarray*} |R| \leq \frac{|x|^2}{3K+5} \sum_{k=K+1}^\infty \frac{|ax^3|^k}{k!} \sum_{l=0}^\infty \frac{|bx|^l}{l!} + \frac{|x|^2}{L+3} \sum_{l=L+1}^\infty \frac{|bx|^l}{l!} \sum_{k=0}^\infty \frac{|ax^3|^k}{k!} \leq \frac{|x|^2}{3K+5} \frac{|ax^3|^{K+1}}{K!\left(K+1-|ax^3|\right)} e^{|bx|} + \frac{|x|^2}{L+3} \frac{|bx|^{L+1}}{L!\left(L+1-|bx|\right)} e^{|ax|^3} \end{eqnarray*}$

Klappt natürlich erst, wenn der Geometrische Reihenrest auch tatsächlich konvergiert, d.h. erst für $\begin{eqnarray*} L+1 > |bx| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K+1 > |ax^3| \end{eqnarray*}$ . Die können - je nach $\begin{eqnarray*} C,D \end{eqnarray*}$ - natürlich ganz schön groß sein, und das entscheidet dann natürlich, ob der Weg über diese Summen praktikabel ist.

24.11.2021, 10:09

Finn_

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Betrachte mal diese beiden Belegungen:

code:
1: 2:	A = 1, B = 1, a = 1, b = 1 bzw. C = 2, D = -2; A = 1, B = 10, a = 1, b = 1 bzw. C = 101, D = -20;

Zur ersten Belegung zeigt dieser Plot die Partialsumme 10 der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{b^n}{n+2}P_n(ab^{-3})x^{n+2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P_n(x) := \sum_{k=0}^{\lfloor n/3\rfloor} \frac{x^k}{k!(n-3k)!} \end{eqnarray*}$ im Vergleich zur Stammfunktion $\begin{eqnarray*} \int_0^x u\exp(au^3+bu)\,\mathrm du \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a:=1/D \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b:=-C/D. \end{eqnarray*}$

Bei der zweiten Belegung bräuchte man übermäßig viele Summanden.

Ergänzung. Ein Plot zur Doppelsumme.

24.11.2021, 10:24

HAL 9000

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Ja, es ist an gnt zu evaluieren, für welche Parameter $\begin{eqnarray*} A,B,a,b \end{eqnarray*}$ das mit der Reihe noch ein praktikabler Weg ist. Aus diesem Grund ja die Reihenrestabschätzung, damit man erstmal einen Grobüberblick hat.

24.11.2021, 12:21

gnt

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Danke für die weiteren Tips!
Die Summe über k konnte ich noch weg bringen, aber dafür kriege ich zwei Gamma-Funktionen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\left| D\right| } \sum _{l=0}^{\infty } \frac{(-C)^l D^{1-l}}{3 l!} \left(<br /> \left(-\frac{1}{D}\right)^{\frac{1-l}{3}} \Gamma \left(\frac{l+2}{3},0,-\frac{(C-D)^{3/2}}{D}\right)<br /> -(C+D)^{\frac{l-1}{2}} \left(-\frac{(C+D)^{3/2}}{D}\right)^{\frac{1-l}{3}} \Gamma \left(\frac{l+2}{3},0,-\frac{(C+D)^{3/2}}{D}\right)<br /> \right) \end{eqnarray*}$
Ich glaube, da ist es noch besser, beide Summen bis zu einem gemeinsamen Höchstwert laufen zu lassen, anstatt k bis unendlich und l nicht.

@Finn: Was in dem Code geschieht, verstehe ich leider nicht. Ich hatte eine andere Idee, nämlich die Definition der Funktion
$\begin{eqnarray*} f(n,C,D)=\frac{1}{\left| D\right| }\sum _{k=0}^n \sum _{l=0}^n \frac{(-1)^l C^l D^{-k-l} \left((C+D)^{\frac{1}{2} (3 k+l+2)}-(C-D)^{\frac{1}{2} (3 k+l+2)}\right)}{(3 k+l+2) k! l!} \end{eqnarray*}$
Und dann, aber hier bin ich mir nicht sicher, in einer Schleife n hochzählen, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist. Dazu müssten aber die Exponentialreihen stetig auf das korrekte Ergebnis konvergieren. Machen die das (in diesem Fall)?
$\begin{eqnarray*} n=1;\text{While}\left[\left| f(n,C,D)-f(n-1,C,D)\right| >10^{-11},n\text{++}\right];f(n,C,D) \end{eqnarray*}$

@HAL9000: Ich verstehe zwar, was mit Reihenrest gemeint ist, nicht aber wie das geht, wenn man das nicht explizit ausrechnet. Wie zuverlässig ist so ein Ergebnis? - Meine Parameter liegen für A und B zwischen ca. 0.25 und 7, und für a und b zwischen -1 und 1.

24.11.2021, 17:45

Finn_

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Die Potenzreihe konvergiert für eine Belegung wie $\begin{eqnarray*} A=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=7 \end{eqnarray*}$ zu langsam. Da müsste man wohl einen anderen Entwicklungspunkt nehmen, was mir umständlich erscheint.

Mein Programm berechnet

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{D}\int u\exp\left(\tfrac{1}{D}u^3-\tfrac{C}{D}u\right)\,\mathrm du \end{eqnarray*}$

mit numerischer Integration. Das Gesamtintervall wird dazu in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gleich große Teilintervalle aufgeteilt, auf die jeweils eine Gauß-Legendre-Quadratur mit 16 Stützstellen angewendet wird. Man kann sich $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aussuchen, auch $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ setzen. Mit der Schnittstelle quad(a, b, f, n) ist $\begin{eqnarray*} \textstyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx \end{eqnarray*}$ gemeint.

24.11.2021, 22:07

gnt

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Jetzt kann ich folgen.
Vielen Dank für Deine und Euere Hilfe!

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