Doppelpost! (-1,1) gleichmächtig zu R

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L4R5 Auf diesen Beitrag antworten »
(-1,1) gleichmächtig zu R
Meine Frage:
Also ich soll wie im Titel beschrieben zeigen, dass das Intervall (-1,1) gleichmächtig zu R ist.

Mein Ansatz war jetzt zu zeigen, dass es eine bijektive Funktion f: (-1,1)->R gibt. Dabei hätte ich jetzt f(x)=(1-x^2)/x genommen.

Allerdings scheitere ich jetzt an dem Beweis, dass f bijektiv ist.
Gibt es vielleicht noch eine andere einfachere Funktion??

Meine Ideen:
Ich müsste ja Surjektivität und Injektivität zeigen.

Injektivität hatten wir als f(x1)=f(x2) => x1=x2 definiert gehabt.
Ich hab mir jetzt also meine Funktion genommen und versucht zu zeigen, dass es injektiv ist. Am Ende bin ich auf 1/x1 + x2 = 1/x2 + x1 gekommen und habe gesagt, dass das eben nur geht, solange x1=x2 ist. Das geht wahrscheinlich nicht...

Die Surjektivität bereitet mir noch mehr Schwierigkeiten. Hier hätte ich eigentlich meine Funktion gerne nach x=... umgestellt und dann eben gesagt, es gibt zu jedem y aus R ein x aus meinem Interval. Bin aber kläglich gescheitert..

Korrektur aus zweitem Beitrag übernommen, diesen gelöscht, damit es nicht so aussieht, als ob schon geantwortet wird. Steffen
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Konstruktion führt zu der quadratischen Gleichung Du muss zeigen, dass diese Gleichung zu jedem genau eine Lösung im Definitionsbereich besitzt.

Ästhetische Alternativen sind Sigmoidfunktionen wie tanh oder
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »

vgl:
https://www.matheboard.de/archive/447953/thread.html
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Crossposting* ist unhöflich, weil dann mehrere Helfer unnötig gebunden werden.

*** geschlossen ***

mY+

(*) Zeitgleiches Posten ein und desselben Themas in mehrere Foren
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist kein Crossposting. Adi hat lediglich auf einen früheren Matheboard-Beitrag hingewiesen. Ich öffne wieder.

Viele Grüße
Steffen
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

@Steffen Beweis: (-1,1) gleichmächtig zu R, Matheplanet 2021-11-24 10:11.
 
 
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, deswegen. Dann gilt das oben Gesagte natürlich, dem ich mich ausdrücklich anschließe.

Hier ist wieder zu.
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