Skalarprodukt und unitärer Operator

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24.11.2021, 17:15	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt und unitärer Operator Hallo, ich habe eine Frage zu dem Skalarprodukt von $\begin{eqnarray} U\|x\rangle \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|y\rangle \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ein unitärer Operator ist und wir uns im komplexen Vektorraum befinden. Wie wäre das Skalar Produkt hier definiert, ich würde behaupten, dass dies so lauten müsste: $\begin{eqnarray} (U\|x\rangle) \cdot (\|y\rangle) = \langle x \|U^{\dagger}\|y\rangle \end{eqnarray}$ Kann man das so stehen lassen, oder habe ich einen Fehler gemacht?
24.11.2021, 18:20	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte im $\begin{eqnarray} \mathbb C^n \end{eqnarray}$ das Standardskalarprodukt $\begin{eqnarray} \langle x\mid y\rangle := x^\dagger y. \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} U\in\mathbb C^{n\times n} \end{eqnarray}$ eine quadratische Matrix und es gilt $\begin{eqnarray} \langle x\| U^\dagger\| y\rangle := \langle x \mid U^\dagger y\rangle = x^\dagger U^\dagger y = (Ux)^\dagger y = \langle Ux\mid y\rangle. \end{eqnarray}$
24.11.2021, 18:51	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Finn_, wenn ich das korrekt aufgefasst habe, dann folgt daraus auch: $\begin{eqnarray} \langle x\|U^{\dagger} = \langle U x\| \end{eqnarray}$ , richtig?
24.11.2021, 19:01	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist bloß eine andere Schreibweise für $\begin{eqnarray} x^\dagger U^\dagger = (Ux)^\dagger. \end{eqnarray}$
24.11.2021, 20:57	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Finn_, in aller Ausführlichkeit würde ich dann folgendes rechnen (Skalarprodukt von ( $\begin{eqnarray} U\|x\rangle \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|y\rangle \end{eqnarray}$ ): $\begin{eqnarray} (U\|x\rangle) \cdot (\|y\rangle) \equiv (Ux)^{\dagger}\cdot y = x^{\dagger}U^{\dagger}\cdot y = \langle x\|U^{\dagger}\|y\rangle \end{eqnarray}$ kannst du das so bestätigen, oder ist mir ein Fehler unterlaufen?
24.11.2021, 22:10	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Nee, da bringst du nun unterschwellig Skalarprodukt und Matrizenmultiplikation durcheinander. Es gilt $\begin{eqnarray} (U\|x\rangle) \cdot (\|y\rangle) \equiv (Ux)\cdot y = x \cdot (U^\dagger y), \end{eqnarray}$ sofern $\begin{eqnarray} \langle x\mid y\rangle \equiv \|x\rangle \cdot \|y\rangle\equiv x\cdot y \equiv x^\dagger y \end{eqnarray}$ ist. Du betrachtest sämtliche Größen als Matrizen und beachtest allgemein $\begin{eqnarray} (AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (AB)C = A(BC). \end{eqnarray}$ Ein Vektor $\begin{eqnarray} \|v\rangle=v \end{eqnarray}$ ist eine Spaltenmatrix. Ein $\begin{eqnarray} \langle v\|=v^\dagger \end{eqnarray}$ ist eine Zeilenmatrix, die Adjungierte von $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ . Demzufolge gilt $\begin{eqnarray} \langle v\mid w\rangle = v^\dagger w, \end{eqnarray}$ womit sich das Standardskalarprodukt ergibt. Dadurch sind bereits sämtliche Ausdrücke auf Matrizenrechnung reduziert.
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24.11.2021, 23:35	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi und danke für deine Antwort, sorry, in meinem vorherigen Beitrag wollte ich eigentlich das hier gemeint haben: $\begin{eqnarray} (U\|x\rangle) \cdot (\|y\rangle) \equiv (Ux)\cdot y =(Ux)^{\dagger}y \equiv x^{\dagger}U^{\dagger}y = \langle x\|U^{\dagger}\|y\rangle \end{eqnarray}$
25.11.2021, 07:45	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Formalismus muss ebenso für Funktionenräume gültig sein. Sehen wir uns das zur Übung noch kurz an. Die Entsprechung zum Standardskalarprodukt ist $\begin{eqnarray} \langle x\mid y\rangle = \int_\Omega \overline{x(t)}y(t)\,\mathrm dt. \end{eqnarray}$ Zu einem linearen Operator $\begin{eqnarray} Ux(t) = \int_\Omega K(t,s)x(s)\,\mathrm ds \end{eqnarray}$ definiert man den adjungierten Operator $\begin{eqnarray} U^\dagger x(s) = \int_\Omega \overline{K(t,s)}x(t)\,\mathrm dt. \end{eqnarray}$ Nun gelingt die Umformung $\begin{eqnarray} \langle Ux\mid y\rangle = \int_\Omega \overline{\int_\Omega K(t,s)x(s)\,\mathrm ds}\, y(t)\,\mathrm dt = \int_\Omega\int_\Omega \overline{K(t,s)}\,\overline{x(s)}\,\mathrm ds\,y(t)\,\mathrm dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \int_\Omega\overline{x(s)} \int_\Omega \overline{K(t,s)}\,y(t)\,\mathrm dt\,\mathrm ds = \int_\Omega \overline{x(s)}U^\dagger y(s)\,\mathrm ds = \langle x\mid U^\dagger y\rangle. \end{eqnarray}$
25.11.2021, 10:00	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Finn_, danke, die Sichtweise über die Funktionsräume finde ich interessant, so hab ich das noch nicht betrachtet. Aus deinen Ausführungen würde ich jetzt schlussfolgern, dass meine letzte Umstellung also richtig war. (Davor hatte ich leider das Skalarprodukt Zeichen übersehen)

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