Beweis Supremum einer Folge

25.11.2021, 09:35

egrath

Beweis Supremum einer Folge

Hallo,
ich möchte gerne beweisen dass eine Zahl B das Supremum einer Folge ist. Könnte mir jemand bitte sagen, ob meine Schlussfolgerung im folgenden Beweis korrekt is:

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{3n-1}{2n+3}, B=\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Beweis, dass B eine obere Schranke ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{3n-1}{2n+3}\leq \frac{3}{2} \newline 6n-2\leq 6n+9 \newline -2\leq9\Rightarrow \text{wahr} \end{eqnarray*}$

Beweis, dass B das Supremum ist durch Annahme:
$\begin{eqnarray*} \text{Es existiert ein } \epsilon \in \mathbb {R}^{+} \text{ so dass } a_n\leq B-\epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3n-1}{2n+3}\leq \frac{3}{2}-\epsilon\newline \frac{3n-1}{2n+3}\leq \frac{3-2\epsilon}{2}\newline 6n-2\leq 6n-4n\epsilon+9-6\epsilon\newline -11\leq -4n\epsilon-6\epsilon\newline 11\geq 4n\epsilon+6\epsilon\newline n\leq \frac{11-6\epsilon}{4\epsilon} \end{eqnarray*}$

Da gezeigt werden kann, dass diese Aussage nicht für alle n und epsilon gilt, beispielsweise durch n=1 und epsilon=2, ist die Annahme fasch.

Danke,
Egon

25.11.2021, 10:59

klarsoweit

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RE: Beweis Supremum einer Folge

Zitat:

Original von egrath
Beweis, dass B das Supremum ist durch Annahme:
$\begin{eqnarray*} \text{Es existiert ein } \epsilon \in \mathbb {R}^{+} \text{ so dass } a_n\leq B-\epsilon \end{eqnarray*}$

Dieser Anfang ist formal schräg. Besser wäre in meinen Augen, diese Aussage zu zeigen:

Für alle epsilon > 0 existiert ein n, so daß gilt: $\begin{eqnarray*} a_n > B - \epsilon \end{eqnarray*}$

Der weitere Beweis geht dann quasi analog nur mit umgedrehten Vergleichszeichen:

$\begin{eqnarray*} \frac{3n-1}{2n+3} > \frac{3}{2}-\epsilon \Leftrightarrow \frac{3n-1}{2n+3} > \frac{3-2\epsilon}{2} usw. \end{eqnarray*}$

Am Ende hast du dann $\begin{eqnarray*} n > \frac{11 - 6 \epsilon}{4 \epsilon} \end{eqnarray*}$ . Für jedes epsilon > 0 kann also ein geeignetes n angegeben werden.

25.11.2021, 11:13

egrath

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Danke!
LG,
Egon

25.11.2021, 18:54

Helferlein

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RE: Beweis Supremum einer Folge
Alternativvorschlag: Nutze $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{3n-1}{2n+3}=\frac{\frac 32{(2n+3)}-\frac 72}{2n+3} = \frac 32 - \frac 74 \cdot \frac 1{n+\frac 32} \end{eqnarray*}$

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