Steigung einer Sekante im Punkt

25.11.2021, 14:28

VerzweifelterSchüler

Steigung einer Sekante im Punkt

Meine Frage:
Aufgabe: Gegeben ist eine Normalparabel f(x) = x^2 und ein Punkt (0/-25). Es gilt herauszufinden wie groß die Steigung einer Gerade bzw. Sekanten mindestens sein muss wenn sie den Punkt P schneidet und zwei Mal die Normalparabel

Meine Ideen:
also hab mir das so gedacht, dass alles, wo die Steigung größer ist, als die von der Tangente durch den Punkt an der Normalparabel zwei Schnittpunkte haben muss, aber keine Ahnung wie man das rechnet

25.11.2021, 15:35

HaddiV

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Hallo,

ich würde erstmal die Steigung einer Tangente an die Parabel ermitteln, die durch den gegebenen Punkt geht.
Ich weiss nicht, ob Du sowas schon mal gemacht hast, gehe aber schon davon aus, deshalb nur eine kurze Anleitung in Textform:
Ermittle eine Gleichung der Geraden mit unbekannter Steigung m mit Hilfe der Punkt-Steigungsform:
$\begin{eqnarray*} y(x) = m \cdot (x-0) -25 = m \cdot x-25 \end{eqnarray*}$
Diese setzt Du mit der Normalparabel gleich und bringst alles auf die linke Seite, so dass rechts 0 steht.
Hier kommt der entscheidende Gedankengang: wenn da eine Tangente rauskommen soll, darf diese Gleichung nur eine Lösung haben (es gibt ja nur einen Berührpunkt mit der Tangente).
Und genau eine Lösung einer quadratischen Gleichung bedeutet für die (... Lückentext...) , dass sie gleich ...Lücke... sein muss. So kommst Du auf eine Gleichung, aus der Du das m ermitteln kannst - oder eigentlich sollten eher sogar zwei Stück m rauskommen, nämlich für die Tangente, die die Parabel rechts berührt, und ein m für die Tangente, die die Parabel auf der linken Seite berührt.

Das sind dann die Grenzen, zwischen denen Dein m liegen muss.

Viele Grüsse

25.11.2021, 22:50

mYthos

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Ist dir schon die Berechnung der Steigung mittels Ableitung (Differentialrechnung) bekannt?
(Dann wird die Rechnung relativ einfach, denn die Steigung m lautet in jedem Punkt $\begin{eqnarray*} ( x_1 / x_1^2) \end{eqnarray*}$ auf der Parabel: $\begin{eqnarray*} m = 2x_1 \end{eqnarray*}$

mY+

25.11.2021, 22:54

klauss

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RE: Steigung einer Sekante im Punkt
Die Frage

Zitat:

wie groß die Steigung einer Gerade bzw. Sekanten mindestens sein muss

ist so nicht passend gestellt.
Mit der graphischen Darstellung vor Augen kann man erwarten, dass die Lösung für zwei Schnittpunkte von der Form
$\begin{eqnarray*} L=\left]-\infty ;m_{1} \right[ \cup \left]m_{2};\infty \right[ \end{eqnarray*}$
sein wird.
Deshalb wurde der Rechenweg richtig vorgeschlagen, aber das Resümee

Zitat:

Das sind dann die Grenzen, zwischen denen Dein m liegen muss.

ist ebenfalls nicht passend.

25.11.2021, 23:42

HaddiV

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Hallo an alle,

klauss hat natürlich recht, ich bedanke mich für die Verbesserung meiner unrichtigen Antwort, die meiner heutigen etwas laxen Einstellung und der Eile geschuldet ist.

Lieber VerzweifelterSchüler, wenn du auf die Lösung kommst, lerne doch aus meinem Fehler, dann hat er wenigstens etwas Gutes Augenzwinkern

Vielleicht noch etwas zur Veranschaulichung meines Fehlers:
Wenn du dir das Problem mal vorstellst oder besser hinskizzierst, siehst du, dass das alles achsensymmetrisch zur y-Achse sein muss - die Normalparabel ja sowieso, der Punkt (0/-25) liegt auf der y-Achse und dann werden auch die Tangenten achsensymmetrisch sein.
Du kriegst also eine Tangente mit positivem m (steigend), die die Normalparabel auf ihrer rechten Seite (im I. Quadranten) berührt; und eine fallende Gerade (negatives m), die die Normalparabel auf der linken Seite (im II. Quadranten) berührt.
Mein Fehler liegt nun darin, dass ich in meiner Vorstellung die Gerade im Punkt (0/-25) im Geist einfach entgegen dem Uhrzeigersinn gedreht habe (aber wegen der Symmetrie nur bis zur y-Achse) und dabei übersehen habe, dass ich sozusagen kurz vor der y-Achse aufhören muss - sonst hätte ich eine senkrechte Gerade, eben die y-Achse. Solche Geraden haben die Steigung $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ oder - wenn man sie fallend denkt - eben $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ .
So kommt klauss auf die Grenzen der Intervalle, aus der das jeweilige m stammen muss, und er hat natürlich völlig recht damit.
(Die senkrechte Gerade oder besser gesagt die y-Achse ist wohl auch eine Sekante (denke ich zumindest), aber sie hat nur einen Schnittpunkt mit der Parabel... solche Sonderfälle fallen einem erst auf, wenn man sich damit mal genauer beschäftigt.)

Das wollte ich nur zur Verdeutlichung/Veranschaulichung meines Fehlers noch beitragen und mich nochmal für die Richtigstellung bedanken.

Viele Grüße,
HaddiV

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