Vereinigung zweier Ideale

25.11.2021, 16:43

HiBee123

Vereinigung zweier Ideale

Hallo

Es gilt zu zeigen, dass die Vereinigung zweier Ideal nicht zwangsläufig wieder ein Ideal ergibt. Leider verstehe ich nicht wieso dass so sein muss. wenn ich ein $\begin{eqnarray*} a \in I \end{eqnarray*}$ so muss ja auch $\begin{eqnarray*} ra \in I \end{eqnarray*}$ sein.
Genauso wenn ich $\begin{eqnarray*} b \in J \end{eqnarray*}$ habe muss $\begin{eqnarray*} rb \in J \end{eqnarray*}$ sein.
dass heißt aber doch wenn ich $\begin{eqnarray*} c\in J \bigcup I \end{eqnarray*}$ , dass dann auch $\begin{eqnarray*} rc\in J \bigcup I \end{eqnarray*}$ sein muss, oder?
wo ist mein Denkfehler?

25.11.2021, 18:36

Elvis

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RE: Vereinigung zweier Ideale

Zitat:

Original von HiBee123
Es gilt zu zeigen, dass die Vereinigung zweier Ideal nicht zwangsläufig wieder ein Ideal ergibt.

Es genügt, ein Gegenbeispiel anzugeben. Betrachte $\begin{eqnarray*} I=2\mathbb Z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} J=3\mathbb Z \end{eqnarray*}$ im Ring der ganzen rationalen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Beachte: nicht nur rc muss im Ideal sein für alle r im Ring und c im Ideal sondern auch a+b für alle a,b im Ideal. Ideale sind spezielle Teilringe.

25.11.2021, 22:14

HiBee123

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Ach ja, Ideale müssen ja immer auch Untergruppen sein. Dankeschön! Tanzen

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