Restklassenring ist Körper

25.11.2021, 22:57	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Restklassenring ist Körper Hallo es gilt zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \mathbb R \left[x\right] /((x^2+1)\mathbb R\left[x\right] ) \end{eqnarray}$ ein Körper ist. Leider weiß ich nicht so genau, wie ich mir dann die Inversen vorstellen soll...
26.11.2021, 08:19	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Um diesen Faktorring zu bilden adjungiere eine Nullstelle des Polynoms zu $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ . Dabei entsteht der einzige quadratische Körper über $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ . Faktorisierung des Polynomrings über einem Körper nach einem Ideal, das von einem irreduziblen Polynom erzeugt wird, bedeutet dass man eine Nullstelle dieses Polynoms zum Körper hinzunimmt, die wegen der Irreduzibilität nicht in dem Körper enthalten sein kann. Und wenn die Nullstelle $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ heißt, dann gilt $\begin{eqnarray} \theta^2+1=0 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \theta^2=-1 \end{eqnarray}$ , und spätestens jetzt ist alles klar. Der entstehende Körper muss auch das multiplikative Inverse $\begin{eqnarray} \theta ^{-1} \end{eqnarray}$ enthalten, und wegen $\begin{eqnarray} \theta\cdot (-\theta)=-\theta^2=1 \end{eqnarray}$ ist offenbar $\begin{eqnarray} \theta^{-1}=-\theta \end{eqnarray}$ .
26.11.2021, 23:39	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, Entschuldigung, aber ich habe das nicht verstanden. Also Adjungieren heißt hinzufügen? und was hat es mit dieser Irreduzibilität auf sich? und Warum muss der entstehende Körper die Inversen enthalten? Dankbar für jede Hilfe.
27.11.2021, 09:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Für jedes Polynom $\begin{eqnarray} f(x) \in \mathbb R[x] \end{eqnarray}$ ist das Hauptideal $\begin{eqnarray} (f(x)) =f(x) \mathbb R[x] \end{eqnarray}$ ein Ideal, also ein Teilring und der Restklassenring, Faktorring oder Quotientenring $\begin{eqnarray} \mathbb R [x] /(f(x)) \end{eqnarray}$ ein Ring. Zum Beispiel ist $\begin{eqnarray} f(x) =x^2 - 1=(x+1)(x-1) \end{eqnarray}$ reduzibel, die Nullstellen sind reell, also der Restklassenring wieder $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ . Das ist langweilig, deswegen fordert man die Irreduzibilitaet des Polynoms. Irreduzibel heißt insbesondere, dass alle Nullstellen nicht im Körper des Polynomrings liegen, und man weiß, dass der Faktorring nicht nur ein Ring sondern sogar ein Körper ist. Ein Körper enthält zu jedem Element außer 0 auch das multiplikatv inverse Element. Faktorring bilden ist gleichbedeutend damit, dass man alle Nullstellen des Polynoms zum Körper hinzufügen kann, das heißt in gelehrter Sprache adjungieren.

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