Frage zur e-Funktion

26.11.2021, 13:07	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zur e-Funktion Wenn man es das erste Mal hört, ist man ja überrascht, dass die e-Funktion ihre eigene Ableitung ist. Dazu kam mir gerade folgende Frage, ich weiß nicht, ob das total trivial ist, aber ich frags jetzt einfach mal: Ist es logisch und unausweichlich, dass es eine Funktion gibt, die ihre eigene Ableitung ist? Muss es so eine Funktion geben? Und nur eine?
26.11.2021, 13:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Eindeutig ist das nicht. $\begin{eqnarray} f(x)=0\Rightarrow f'(x)=0=f(x) \end{eqnarray}$ . Es kommt auch immer darauf an, wo die Funktion definiert ist (reell, komplex, p-adisch, ...), ob sie auf dem ganzen Raum oder nur auf Teilen existieren soll, und welche Eigenschaften man sonst noch für wünschenswert hält. Jedenfalls freuen wir uns immer wieder, wenn wir Logarithmus und Exponentialfunktion - oder etwas ähnliches - finden, weil diese Funktionen nicht nur schön sondern auch sehr nützlich sind.
26.11.2021, 13:28	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zur e-Funktion Es gibt unendlich viele, wobei zugegebenerweise alle die Form $\begin{eqnarray} (\lambda \exp) \end{eqnarray}$ haben, für so ziemlich alle konstanten Objekte $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ mit einer skalaren Multiplikation (insb. komplexe Zahlen). Matrixwerte Funktionen gibt es auch, wobei es die natürliche Verallgemeinerung der Exponentialfunktion ist. Die Existenz/Herleitung für Skalare könnte man machen mit der Annahme die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f = f' \end{eqnarray}$ analytisch ist. Dann kann man mal $\begin{eqnarray} f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \end{eqnarray}$ einsetzen und sehen, dass das entstehende unendlich große Gleichungssystem für jeden Anfangswert $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ genau ein Lösung hat.
26.11.2021, 15:06	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Picard-Lindelöf (globale Version). Sei $\begin{eqnarray} I\subseteq\mathbb R \end{eqnarray}$ ein Intervall. Sei $\begin{eqnarray} g\colon I\times\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray}$ stetig auf ihrem gesamten Definitionsbereich und dehnungsbeschränkt* bezüglich ihrem zweiten Argument. Dann besitzt die Differentialgleichung $\begin{eqnarray} f'(x)=g(x,f(x)) \end{eqnarray}$ zu jedem Anfangswert $\begin{eqnarray} f(x_0)=y_0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_0\in I \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_0\in\mathbb R \end{eqnarray}$ genau eine globale Lösung $\begin{eqnarray} f\colon I\to\mathbb R. \end{eqnarray}$ Die Funktion $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ ist dehnungsbeschränkt im zweiten Argument, wenn eine nichtnegative Konstante $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray} \|g(x,y_1)-g(x,y_2)\|\le L\|y_1-y_2\| \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in I \end{eqnarray}$ und alle $\begin{eqnarray} y_1,y_2\in\mathbb R \end{eqnarray}$ gilt. Anschaulich ist die Dehnungsschranke $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray*}$ der feste Anstieg eines an jedem Punkt des Graphen anzuheftenden Kegels, der nicht überschritten werden darf.
26.11.2021, 15:18	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Picard-Lindelöf. Sehr schön! Vielen Dank! > Eindeutig ist das nicht. f(x)=0 & f'(x)=0=f(x). > Es gibt unendlich viele, wobei zugegebenerweise alle die Form (»exp) haben Ok, ja, das ist klar. Ich dachte, es gibt vielleicht zusätzlich irgendwas ganz anderes sin(x)*x^2 ... aber nach dem Satz von Picard-Lindelöf ist es also eindeutig.
26.11.2021, 16:47	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Sowas wie Eindeutigkeit kann man so zeigen. Sei $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eine Lösung von $\begin{eqnarray} f' = f \end{eqnarray}$ . Definiere $\begin{eqnarray} g(x) = f(x)e^{-x} \end{eqnarray}$ . Dann gilt nach Produktregel $\begin{eqnarray} g'(x) = f'(x) e^{-x} - f(x) e^{-x} \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} f' = f \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} g'(x) =0 \end{eqnarray}$ und damit ist $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ konstant. D.h. es existiert eine Zahl $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} c = g(x) = f(x) e^{-x} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ .. Umgestellt: $\begin{eqnarray} f(x) = c e^{x} \end{eqnarray}$
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26.11.2021, 18:01	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
@IfindU: Danke!

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