Beweis zu Bedingungen für Kernbrüche

26.11.2021, 21:03

Methos_02

Beweis zu Bedingungen für Kernbrüche

Meine Frage:
Sei f : N*×N*-> Q, (m, n) -> m/n , wobei N* = N \ {0}.
a) Zeigen Sie, dass f nicht injektiv ist.
b) Geben Sie eine Menge U c N* × N* an, so dass die Einschränkung f|U injektiv ist.
c) Kann man U so wählen, dass zusätzlich f(U) = f(N* × N*)?

a) und b) habe ich bereits hingekriegt (der Vollstängigkeit halber habe ich sie trotzdem, hinzugefügt) und bei b) habe ich U lediglich so definiert, dass m und n element der Primzahlen vereinigt mit {1} (P*) sein sollen mit m ungleich n.

Meine Ideen:
Da man für die c) ja nur eine Menge U wählen soll, die den gleichen Wertebereich hat, wie die ursprüngliche Funktion, hatte ich die Idee, U als die Menge aller Kernbrüche darzustellen, da somit alle möglichen Brüche dargestellt werden (alle Brüche die dadurch nur in f(N*xN*) auftauchen würden, kann man ja zu eben diesen Kernbrüchen kürzen).
Allerdings habe ich nirgends eine mathematische Darstellung der Bedingungen für nicht-Kürzbarkeit von Brüchen finden können.
Ich habe alles was ich zur Teilbarkeit von Brüchen finden konnte jetzt mal in folgender Definition von U zusammengefasst:

$\begin{eqnarray*} U:={m,n\in \mathbb N*x\mathbb N*, k\in\mathbb N| (m\inP*\wedge mk\neq n)\vee(n\in P*\wedge nk\neq m)\vee (m,n\in P*\wedge m\neq n)\vee n+1=m\vee m+1=n} \end{eqnarray*}$

Ich hab halt jetzt nur keine Ahnung, wie ich beweisen kann, dass f(U)=f(N*xN*) ohne da einen ellenlangen Fließtext zu schreiben oder zu zeigen, dass genau das was ich als Bedingungen in der Menge angegeben habe die Bedingungen für nicht-Kürzbarkeit von Brüchen ist...

Hat da jemand hier vielleicht eine Idee, wie ich dass ohne 10-seitigen Beweis machen kann? Dankeschön. smile

26.11.2021, 21:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von Methos_02
Allerdings habe ich nirgends eine mathematische Darstellung der Bedingungen für nicht-Kürzbarkeit von Brüchen finden können.

Sagt dir der Begriff "teilerfremd" etwas?

26.11.2021, 21:32

Methos_04

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Da hatte ich tatsächlich gar nicht viel zu gefunden gehabt, aber zumindest konnte ich damit mein U schon mal auf

$\begin{eqnarray*} U:= {m,n\in \mathbb N *x\mathbb N *|\exists! k={1}: k|m\wedge k|n} \end{eqnarray*}$

reduzieren.

Allerdings habe ich immer noch keine Idee, wie ich jetzt mathematisch beweisen kann, dass f(U)=f(N*xN*) ist. Also ohne Fließtext...

Hättest du da vielleicht einen kleinen Anstoß für mich?

Vielen Dank auf jeden Fall schon mal, das macht es auf jeden Fall deutlich einfacher.

26.11.2021, 22:19

HAL 9000

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Deine Mengendarstellung verstehe ich nicht.

$\begin{eqnarray*} U = \left\{ (m,n)\in\mathbb{N}^*\times\mathbb{N}^* \mid \nexists k\in\mathbb{N}:~k>1\wedge k\mid m\wedge k\mid n\right\} \end{eqnarray*}$

wäre für micht plausibler, wenn man die Teilerfremdheit ausdrücken will.

a) $\begin{eqnarray*} f(U)\subseteq f\left(\mathbb{N}^*\times\mathbb{N}^*\right) \end{eqnarray*}$ ist klar wegen $\begin{eqnarray*} U\subseteq \mathbb{N}^*\times\mathbb{N}^* \end{eqnarray*}$ .

b) Für die Rückrichtung betrachte man für beliebige $\begin{eqnarray*} m,n\in\mathbb{N}^* \end{eqnarray*}$ deren größten gemeinsamen Teiler $\begin{eqnarray*} g=\operatorname{ggT}(m,n) \end{eqnarray*}$ und darauf basierend $\begin{eqnarray*} m'=\frac{m}{g} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n'=\frac{n}{g} \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} (m',n')\in U \end{eqnarray*}$ und...

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