Konstruierter Pi-Grenzprozess

28.11.2021, 09:40

quadrierer

Konstruierter Pi-Grenzprozess

Aus post vom 26.11.2021

Zitat:

Original von Leopold
Ich habe das folgende Verfahren zur Berechnung von $\begin{align*} \pi \end{align*}$ für den Unterricht entwickelt.
$\begin{align*} u_0 = 2 \sqrt{2} \, , \ \ h_0 = \frac{1}{2} \sqrt{2} \end{align*}$
Und für $\begin{align*} n \geq 0 \end{align*}$ induktiv:
$\begin{align*} \text{(1)} \ \ U_n = \frac{u_n}{h_n} \, , \ \ \ \text{(2)} \ \ h_{n+1} = \sqrt{\frac{1}{2} \left( 1 + h_n \right)} \, , \ \ \ \text{(3)} \ \ u_{n+1} = \frac{u_n}{h_{n+1}} \end{align*}$
Die Intervalle $\begin{align*} \left[ u_n , U_n \right] \end{align*}$ definieren eine Intervallschachtelung für $\begin{align*} \pi \end{align*}$ .

Ich versuche diese Formeln für die Berechnung des Kreisverhältnisses $\begin{align*} \pi \end{align*}$ in einen Plan für eine klassische Konstruktion umzusetzen, die mit einem klassisch konstruierten Grenzprozess mit immer mehr konstruierten Kreis- und Gerade-Objekten (Schritten) gegen das Kreisverhältnis $\begin{align*} \pi \end{align*}$ =Halbkreisumfang/Kreisradius konvergiert. Dabei komme ich aber nicht so recht voran, denn die Darlegung der Vorgehensweise ist für mich noch zu abstrakt, um die einzelnen Schritte der Konstruktion daraus herleiten zu können.
Was übersehe ich da?

28.11.2021, 12:19

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} u_n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} U_n \end{eqnarray*}$ stehen für die Umfänge der ein- bzw. umbeschriebenen regelmäßigen $\begin{eqnarray*} 2^{n+2} \end{eqnarray*}$ -Ecke bezogen auf einen Kreis vom Durchmesser 1, siehe https://en.wikipedia.org/wiki/Pi#Polygon_approximation_era. In expliziten Formeln heißt das

$\begin{eqnarray*} u_n = 2^{n+2}\cdot \sin\left(\frac{\pi}{2^{n+2}}\right) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} U_n = 2^{n+2}\cdot \tan\left(\frac{\pi}{2^{n+2}}\right) \end{eqnarray*}$ .

Damit ist $\begin{eqnarray*} h_n = \cos\left(\frac{\pi}{2^{n+2}}\right) \end{eqnarray*}$ . Die Rekursionsgleichung (2) dieser $\begin{eqnarray*} h_n \end{eqnarray*}$ resultiert aus $\begin{eqnarray*} \cos^2(x) = \frac{1+\cos(2x)}{2} \end{eqnarray*}$ .

Die üblichen Konstruktionen dieser Folge von $\begin{eqnarray*} 2^{n+2} \end{eqnarray*}$ -Ecken enthalten allerdings Winkelhalbierungen - oh wie furchtbar...

28.11.2021, 17:45

quadrierer

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Danke für die Mühe. Jetzt ist der Zusammenhang zu $\begin{align*} \pi \end{align*}$ und zur gelehrten $\begin{align*} \pi \end{align*}$ -Berechnung von Archimedes klar zu erkennen.

Aber auch auf der Grundlage der modernen Notation zu den besagten $\begin{align*} \pi \end{align*}$ -Zusammenhängen kann ich immer noch keine sich darauf stützende, anschaulich nachvollziehbare klassische Konstruktion als Sequenz gezeichneter Kreis - und Gerade-Objekte herleiten. Bei dieser soll mit jeder Ecke mehr die neue vervollständigte Ergebnisgrösse $\begin{align*} \pi \end{align*}$ $\begin{eqnarray*} _{aktuell} \end{eqnarray*}$ weiter gegen die exakte Ergebnisgrösse Kreisverhältnis $\begin{align*} \pi \end{align*}$ konvergieren.

Was übersehe ich da?

28.11.2021, 17:50

HAL 9000

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Ich habe die Erfahrung gemacht, dass man von dir nur verarscht/beleidigt wird, wenn man solche Fragen wahrheitsgemäß beantwortet. Daher werde ich das hier nicht tun.

Es gibt außerdem jetzt genug Informationen im Thread, dass ein halbwegs geometriekundiger Mensch sich das jetzt selbst zusammenbasteln könnte.

28.11.2021, 18:51

Leopold

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[attach]54071[/attach]

Die Zeichnung zeigt in einem Einheitskreis die Sehnen $\begin{align*} s \end{align*}$ und $\begin{align*} s' \end{align*}$ , so daß der zu $\begin{align*} s' \end{align*}$ gehörende Bogen genau halb so lang wie der zu $\begin{align*} s \end{align*}$ gehörende Bogen ist. $\begin{align*} h \end{align*}$ beziehungsweise $\begin{align*} h' \end{align*}$ seien die Lotstrecken vom Kreismittelpunkt auf $\begin{align*} s \end{align*}$ beziehungsweise $\begin{align*} s' \end{align*}$ .

1. Die Dreiecke $\begin{align*} AME \end{align*}$ und $\begin{align*} ACD \end{align*}$ sind ähnlich, denn sie besitzen einen rechten Winkel und stimmen im Winkel bei $\begin{align*} A \end{align*}$ überein.

2. Das Dreieck $\begin{align*} ABC \end{align*}$ ist nach dem Satz des Thales rechtwinklig bei $\begin{align*} C \end{align*}$ .

3. Das Dreieck $\begin{align*} ABC \end{align*}$ ist ähnlich sowohl zu $\begin{align*} ACD \end{align*}$ als auch zu $\begin{align*} BCD \end{align*}$ (Rechtwinkligkeit sowie Übereinstimmung in einem weiteren Winkel).

Alles zusammen erkennt man die folgenden Ähnlichkeiten:

$\begin{align*} ABC \sim BCD \sim ACD \sim AME \end{align*}$

Zunächst betrachten wir die Ähnlichkeit der rechtwinkligen Dreiecke $\begin{align*} ABC \end{align*}$ und $\begin{align*} AME \end{align*}$ . Das Verhältnis ihrer Hypotenusen ist 2. Also hat auch $\begin{align*} BC \end{align*}$ die doppelte Länge von $\begin{align*} ME \end{align*}$ , somit die Länge $\begin{align*} 2h' \end{align*}$ .

Die folgende Tabelle zeigt die sich entsprechenden Strecken der ähnlichen Dreiecke, zuerst die Hypotenusen, dann die kleinen Katheten, schließlich die großen Katheten.

$\begin{align*} \begin{matrix} ACD & s' & 1-h & \frac{1}{2} s \\ BCD & 2h' & \frac{1}{2}s & 1+h \\ AME & 1 & \frac{1}{2}s' & h' \end{matrix} \end{align*}$

Nun seien $\begin{align*} s \end{align*}$ die Sehne eines dem Einheitskreis einbeschriebenen regelmäßigen $\begin{align*} n \end{align*}$ -Ecks und $\begin{align*} s' \end{align*}$ die Sehne eines dem Einheitskreis einbeschriebenen regelmäßigen $\begin{align*} 2n \end{align*}$ -Ecks. Dann bestehen genau die in der Tabelle angegebenen Zusammenhänge.

Aus der Tabelle entnimmt man die Verhältnisgleichung

$\begin{align*} \frac{2h'}{1} = \frac{1+h}{h'} \end{align*}$

woraus man

$\begin{align*} \text{(2)} \ \ h' = \sqrt{\frac{1}{2} \left( 1+h \right)} \end{align*}$

erhält. Ferner folgt:

$\begin{align*} \frac{s'}{1} = \frac{\frac{1}{2} s}{h'} \end{align*}$

Man multipliziert die letzte Gleichung mit $\begin{align*} n \end{align*}$ :

$\begin{align*} \frac{1}{2} \cdot 2n \cdot s' = \frac{\frac{1}{2} ns}{h'} \end{align*}$

Links erkennt man den halben Umfang $\begin{align*} u' \end{align*}$ des dem Einheitskreis einbeschriebenen regelmäßigen $\begin{align*} 2n \end{align*}$ -Ecks, rechts den halben Umfang $\begin{align*} u \end{align*}$ des dem Einheitskreis einbeschriebenen regelmäßigen $\begin{align*} n \end{align*}$ -Ecks:

$\begin{align*} \text{(3)} \ \ u' = \frac{u}{h'} \end{align*}$

Der Streckfaktor vom einbeschriebenen zum umbeschriebenen $\begin{align*} n \end{align*}$ -Eck ist $\begin{align*} \lambda = \frac{1}{h} \end{align*}$ , so daß, wenn $\begin{align*} U \end{align*}$ den halben Umfang des umbeschriebenen regelmäßigen $\begin{align*} n \end{align*}$ -Ecks bezeichnet, gilt:

$\begin{align*} \text{(1)} \ \ U = \frac{u}{h} \end{align*}$

Man kann mit dem Quadrat beginnen: $\begin{align*} u_4 = 2 \sqrt{2} \, , \ \ h_4 = \frac{1}{2} \sqrt{2} \end{align*}$ (das führt auf das Vieta-Produkt)
oder mit dem Sechseck: $\begin{align*} u_6 = 3 \, , \ \ h_6 = \frac{1}{2} \sqrt{3} \end{align*}$ (mit dieser Folge arbeitete Archimedes)

28.11.2021, 20:43

quadrierer

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Anhand Leopolds schöner Herleitung der $\begin{align*} \pi \end{align*}$ -Zusammenhänge bis zum Kreisverhältnis $\begin{align*} \pi \end{align*}$ in der Darstellung als Vieta-Produkt kann man einsehen, dessen Kohärenzen gehen auf ein reales räumliches Kohärenzsysteme zurück bzw. gehen von diesen aus. Trotzdem kann ich hier noch keine aus dem Vieta-Produkt hergeleitete klassische Konstruktion erkennen, die ein anschaulich nachvollziehbares Konvergieren auf die Ergebnisgrösse Kreisverhältnis $\begin{align*} \pi \end{align*}$ leistet.

Übersehe ich da was?

28.11.2021, 21:14

Leopold

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Da ich deinen Kohärenzsprech nicht verstehe, weiß ich nicht, was du suchst. Tatsache ist, daß die (halben) Umfänge der regelmäßigen Polygone bei fortwährender Verdoppelung der Eckenzahl gegen $\begin{align*} \pi \end{align*}$ konvergieren. Es ist sozusagen die Folge der Polygone, die $\begin{align*} \pi \end{align*}$ visualisiert. Und die Eckenzahl konstruktiv zu verdoppeln, sprich einen Kreisbogen zu halbieren, ist eine Elementarkonstruktion.

28.11.2021, 21:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leopold
Da ich deinen Kohärenzsprech nicht verstehe, weiß ich nicht, was du suchst.

Vielleicht heißt es auch "Cohaerentic Speech" ? Halt, "cohaerentic" ist gar kein englisches Wort, es ist eher kurioses Denglisch. Immerhin (im wahrsten Sinne) ein origineller Begriff - und damit ein kluger Schachzug, was das Katapultieren nach vorn in der Google-Suchliste betrifft. Augenzwinkern

29.11.2021, 11:42

quadrierer

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Zitat:

Original von Leopold
Da ich deinen Kohärenzsprech nicht verstehe, weiß ich nicht, was du suchst. Tatsache ist, daß die (halben) Umfänge der regelmäßigen Polygone bei fortwährender Verdoppelung der Eckenzahl gegen $\begin{align*} \pi \end{align*}$ konvergieren. Es ist sozusagen die Folge der Polygone, die $\begin{align*} \pi \end{align*}$ visualisiert. Und die Eckenzahl konstruktiv zu verdoppeln, sprich einen Kreisbogen zu halbieren, ist eine Elementarkonstruktion.

Es gilt heute als allgemein akzeptiertes Wissen, die klassischen Elementaraufgaben der griechischen Antike Winkeldritteln, Kreisumfang und Kreisfläche und Würfelverdoppelung sind „unmöglich“ durch klassische Konstruktionen lösbar, wenn dabei nur Kreis- und Gerade-Objekte genutzt werden?

Ich glaube, dass es hier nachvollziehbare elementare Lösungszusammenhänge gibt und diese zugänglich werden, wenn nicht das „Unmögliche“, sondern das „Mögliche“ in den Blickpunkt des Interesses gerückt wird. Deshalb suche ich unter anderem auch nach klassisch konstruierten Grenzprozessen, die real erfahrbar gegen das Kreisverhältnis $\begin{align*} \pi \end{align*}$ konvergieren?

Für deinen Betrachtungsfall, bei dem „ die (halben) Umfänge der regelmäßigen Polygone bei fortwährender Verdoppelung der Eckenzahl gegen $\begin{align*} \pi \end{align*}$ konvergieren.“ fehlt mir dein bildliches Grenzprozess-Kohärenzsystem dazu. Für das Verständnis auf elementarer Ebene sollte hier erkennbar sein, wie mit jeder weiteren Ecke bzw. Halbierung und Verdoppelung immer weiter gegen die wahre Ergebnisgrösse Kreisverhaeltnis__ $\begin{align*} \pi \end{align*}$ =(gerade_gestreckter_Kreisumfang)/Kreisurchmesser konvergiert wird.

Auch ich habe versucht, solche klassisch konstruierte Grenzprozess-Kohärenzsysteme für die bekannten drei klassischen und auch ähnliche Aufgaben zu finden. Auf www. cohaerentic.com können diese Versuche nachgelesen und auch diskutiert werden.

29.11.2021, 14:24

Elvis

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Es ist kein "allgemein akzeptiertes Wissen" von dem du sprichst sondern bewiesene Tatsache, dass klassische geometrische Probleme nicht mit (endlich vielen) Kreisen und Geraden lösbar sind. Die Beweise werden algebraisch geführt als Anwendungsbeispiele der Galoistheorie.

Moderne Geometrie nutzt nicht nur einfache oder komplexe Konstruktionen sondern bedient sich großzügig aller vorhandenen Theorien der Mathematik, so dass die heutigen Probleme und Möglichkeiten weit über die klassischen Ansätze hinaus gehen.

Wenn du etwas dazu beitragen möchtest, brauchst du ein Grundverständnis des vorhandenen und musst dich einer klaren Sprache und üblicher Konventionen befleißigen. Falls du dazu nicht bereit bist, machst du dich nur lächerlich.

29.11.2021, 18:58

quadrierer

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Danke für die guten, aber ziemlich abstrakten Ratschläge. Leider geben sie zur Problematik des angefragten nachvollziehbaren klassisch konstruierten Grenzprozesses, der nach dem Vieta- Produkt effizient gegen das Kreisverhältnis pi konvergieren soll, keine konkreten weiter helfenden Hinweise. Oder, übersehe ich da vielleicht etwas?

Zitat:

Original von Elvis
Es ist ... bewiesene Tatsache, dass klassische geometrische Probleme nicht mit (endlich vielen) Kreisen und Geraden lösbar sind. Die Beweise werden algebraisch geführt als Anwendungsbeispiele der Galoistheorie.

Willst du damit vielleicht darauf hinweisen, dass elementar nachvollziehbare klassisch konstruierte Grenzprozesse, die effizient gegen das Kreisverhältnis pi konvergieren, als unmöglich bewiesen sind?

29.11.2021, 20:01

Elvis

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Du vergißt die endlich vielen geometrischen Konstruktionsschritte, die ich erwähnt habe. Zu den nichtklassischen Theorien gehören auch Analysis und analytische Geometrie, so dass seit Descartes und Leibniz auch unendliche Verfahren für die Geometrie genutzt werden. Geometrisch wesentlich effizienter erscheinen mir aber viele neue Methoden, die alte Näherungsverfahren schlicht überflüssig machen. Statt ein Näherungsverfahren als unendlich langen Prozess zu bemühen denken wir uns den Grenzübergang stets als vollzogen. Die Stärke der Analysis liegt eben darin, dass die Grenzwerte als Objekte existieren und unabhängig von ihrer Entstehung benutzt werden. Stetigkeit und Differenzierbarkeit reeller, komplexer und anderer Funktionen kann man nur verstehen und anwenden, wenn die continuierlichen Mengen als Definitions- und Wertebereich vorhanden gedacht werden. Es ist sinnlos, heute noch die einzelne reelle Zahl als Resultat eines Grenzprozesses zu betrachten. $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist der Grenzwert jeder gegen $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ konvergenten Folge.

01.12.2021, 21:41

quadrierer

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@ Elvis

Es wäre so einfach, wenn du mal nur mit ja oder nein antworten würdest.

Sind elementar nachvollziehbare klassisch konstruierte Grenzprozesse, die effizient gegen das Kreisverhältnis $\begin{align*} \pi \end{align*}$ konvergieren, als unmöglich bewiesen? Ja oder nein?

Zitat:

Original von Elvis
... Statt ein Näherungsverfahren als unendlich langen Prozess zu bemühen denken wir uns den Grenzübergang stets als vollzogen.

Der quasi gleiche Gedankensprung ist auch bei klassisch konstruierten Grenzprozessen möglich. Der Grenzpunkt gegen den konvergiert wird, ist auch als vollzogene Aktion gedacht. usw.
Die bekannt gewordenen Beispiele der klassisch konstruierter Grenzprozesse, wie das effiziente Winkeldritteln hier im Forum, zeigen, bis zu nur noch subatomaren Abweichungen vom Grenzpunkt reichen schon ganz wenige gezeichnet Kreis-und Gerade-Objekte aus. Dein Wissen zu „unendlich langen Prozessen “ trifft offensichtlich bei den hier betrachteten unbeschränkt konvergenten „klassich konstruierten Grenzprozessen“ nicht zu. Diese unendlich langen Prozesse treten bei den Methoden der brutalen Gewalt auf, die natürlich auch immer möglich sind.

01.12.2021, 22:34

Elvis

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ja oder nein.

02.12.2021, 18:52

quadrierer

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Zitat:

Original von quadrierer
@ Elvis
Es wäre so einfach, wenn du mal nur mit ja oder nein antworten würdest. ...?.

Zitat:

Original von Elvis
ja oder nein.

Besser können Wünsche nicht erfüllt werden.
"Ja oder nein", eine starke Einsicht! Wink

02.12.2021, 19:48

Leopold

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Zitat:

Original von quadrierer

Zitat:

Original von Elvis
ja oder nein.

Besser können Wünsche nicht erfüllt werden.
"Ja oder nein", eine starke Einsicht! Wink

Manchmal ist der Elvis echt gut drauf. Dann sitzen seine Konter so gut, daß ihm sogar seine "Widersacher" Respekt zollen.

23.12.2021, 20:12

quadrierer

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Zitat:

Original von Leopold

Da ich deinen Kohärenzsprech nicht verstehe, weiß ich nicht, was du suchst.

Ich frage nach einem klassisch konstruierter Grenzprozess, der auf der Grundlage deiner Herleitung vom 28.11.2021 mit einer Sequenz von zusammenhängend gezeichneten Kreis- und Gerade-Objekten gegen eine Ergebnisstrecke Kreisverhältnis $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ konvergiert, wobei die Folge der Zwischenergebnisse sich dem $\begin{eqnarray*} \pi- \end{eqnarray*}$ Grenzpunkt „unbeschränkt / unbegrenzt“ nähert. „Unbeschränkt / unbegrenzt“ kennzeichnet, es gibt keine Grenze und „beschränkt / begrenzt“ kennzeichnet, es gibt eine Grenze für die Näherung, die nicht mehr unterschritten werden kann, wie bei der viel zitierten beschränkten $\begin{eqnarray*} \pi- \end{eqnarray*}$ Näherungskonstruktion von Kochansky.

Zitat:

Original von Leopold
Tatsache ist, daß die (halben) Umfänge der regelmäßigen Polygone bei fortwährender Verdoppelung der Eckenzahl gegen $\begin{align*} \pi \end{align*}$ konvergieren. Es ist sozusagen die Folge der Polygone, die $\begin{align*} \pi \end{align*}$ visualisiert. Und die Eckenzahl konstruktiv zu verdoppeln, sprich einen Kreisbogen zu halbieren, ist eine Elementarkonstruktion.

Tatsache ist aber offenbar auch, dass für diese seit Alters her bekannte simple Einsicht in den Lehrbüchern keine überlieferte und keine in der Neuzeit entstandene klassische Konstruktion zu einem $\begin{eqnarray*} \pi- \end{eqnarray*}$ Grenzprozess zu finden ist.
Ausgehend vom fundamentalen Vorschlag des Antiphon (5.Jh.v.u.Z.), die Kreisfläche als Multisumme von Dreieckflächen zu ermitteln, die immer kleiner gemacht werden, um eine immer vollständigere Kreisausfüllung zu erreichen, gelange ich zu folgender klassisch konstruierter Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten, die einen $\begin{eqnarray*} \pi- \end{eqnarray*}$ Grenzprozess realisiert.
Zum Vergrössern bitte anklicken!
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Das Verhältnis $\begin{eqnarray*} v_{n}=b_{n}/s_{n} \end{eqnarray*}$ von Kreisbogen $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ und zugehöriger Sehne $\begin{eqnarray*} s_{n} \end{eqnarray*}$ strebt gegen Eins, wenn die im letzten Schritt $\begin{eqnarray*} n\rightarrow\infty \end{eqnarray*}$ halbierte Kreisbogenlänge gegen Null strebt. Wird diese letzte Sehnenlänge mit gleich vielen Verdoppelungen wie der Anzahl der Halbierungen auf der senkrechten „Tangenten-Geraden“ vergrössert, weist die erzeugte Strecke nahezu die Grösse des gerade gestreckten Startkreisbogens (1/8 Kreisbogen) auf. Die Ergebnis-Abweichung wird mit sinkender Anzahl der Schritte n immer grösser und umgekehrt. Eine interessante Frage ist hier, gibt es noch effizientere $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ -Berechnungsprozesse, deren Grundlage eine klassisch Konstruktion ist? Können schon mit Vielecken mit geringerer Anzahl als bei Archimedes gleich viele oder sogar mehr wahre $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ -Nachkommastellen durch klassische Konstruktion ermittelt werden?

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