Summe

28.11.2021, 17:53

Thomas007

Summe

Hallo zusammen

Wie lässt sich im Folgenden a herauskriegen?

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{200} (4i+5) = \sum_{i=0}^{199} (4i+a) \end{eqnarray*}$

Ich weiss, dass wenn die Summe von 1 bis x geht, sie sich berechnen lässt als x/2*(a_1 + a_n).

Zudem kenne ich den Wert der linken Seite des Gleichheitszeichens: 81400.

Danke für jede Hilfe!

28.11.2021, 18:05

klauss

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RE: Summe
Da würde ich eine Indexverschiebung benutzen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^{199} (4i+a)=\sum\limits_{i=1}^{200} \left[4(i-1)+a\right] \end{eqnarray*}$

30.11.2021, 10:03

Ulrich Ruhnau

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RE: Summe

Zitat:

Original von Thomas007
Hallo zusammen

Wie lässt sich im Folgenden a herauskriegen?

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{200} (4i+5) = \sum_{i=0}^{199} (4i+a) \end{eqnarray*}$

Man spalte einfach die Summen auf!

$\begin{eqnarray*} \bcancel{\sum_{k=1}^{199} (4k+5)} + \sum_{k=200}^{200} (4k+5) = \sum_{k=0}^{0} (4k+a)\bcancel{+ \sum_{k=1}^{199} (4k+a)} \end{eqnarray*}$

Den Laufindex habe ich der Ästhetik wegen von i auf k umgetauscht.

30.11.2021, 10:48

HAL 9000

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Das vollständige gegenseitige Streichen der Summen funktioniert aber nur im Fall $\begin{eqnarray*} a=5 \end{eqnarray*}$ , andernfalls bleibt noch was übrig...

Der Weg von klauss ist doch ganz eingängig: Da Summandengleichheit $\begin{eqnarray*} 4i+5 = 4(i-1)+a \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a=9 \end{eqnarray*}$ erreicht werden kann, passt das auch.

30.11.2021, 18:34

Ulrich Ruhnau

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RE: Summe

Zitat:

Original von Thomas007
Hallo zusammen

Wie lässt sich im Folgenden a herauskriegen?

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{200} (4i+5) = \sum_{i=0}^{199} (4i+a) \end{eqnarray*}$

Oje!

Also dann nochmal. Aus

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{200} (4k+5) = \sum_{k=0}^{199} (4k+a) \end{eqnarray*}$ wird

$\begin{eqnarray*} \left.1000+4\sum_{k=1}^{200} k = 200\,a+4\sum_{k=0}^{199} k\quad\right|-4\sum_{k=1}^{199}k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left.1000+4\cdot 200 = 200\,a+4\cdot 0\quad\right|:200 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1800}{200} = 9 = a \end{eqnarray*}$

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