Teilerfremdheit zeigen

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Malcang Auf diesen Beitrag antworten »
Teilerfremdheit zeigen
Hallo zusammen,

ich habe hier eine für mich knifflige Aufgabe.
Es seien eine natürliche Zahl und es bezeichne , wobei den dualen Logarithmus meint.
Es sei .
Betrachte nun die kleinste Zahl , die kein Teiler von ist.
Ich möchte nun zeigen, dass ist.

Für mich ist einsichtig, dass nicht sein kann, da dann ein Teiler von und damit auch von wäre.

Das nicht gelten kann ist für mich nicht sofort einsichtig.
Mein Prof schreibt mir dazu, dann stünde im Widerspruch zur Minimalität von .
Aber warum?
ist ja eben kein Teiler von verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehme woran der Prof dachte war:

Definiere . Dann ist und teilt nicht .

Mir ist es leider nicht klar wie das funktionieren soll. Wenn ist (und ich mich nicht verrechnet hab) ist . Der kleinste Nicht-Teiler von wäre und das ist trivialerweise auch teilerfremd zu , da .

Nur was wäre wenn mit versucht. Dann wäre mit .

Wie man bloss jetzt auf die Erkenntnis kommt "4 ist das kleinste, sondern 3" verstehe ich nicht.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

(EDIT: Zu spät...)
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ihr beiden,

@IfindU:
Für n=2 sollte P =1 herauskommen.
B = 1 und damit ld(B) = 0.
Also ist .

Ich hatte vorher einen sehr ähnlichen Ansatz wie du. Mein Prof meinte, es ginge aber "einfacher". Also dachte ich, in der von ihm gemachten Ausführung hätte ich etwas sehr offensichliches übersehen?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, da steht , nicht . Waren mir zu viele Logarithmen Big Laugh
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das mal mit einem Pythonskript überprüft. Die Behauptung scheint schonmal zu stimmen.
Nur der Beweis scheint mir nicht so leicht zu sein wie mein Prof meint.
Sonst muss ich ihn einfach nochmal fragen. Aber wäre gerne mit eurer Hilfe drauf gekommen, das lehrt einen mehr smile
 
 
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Mir kommt da gerade eine Idee.

Sei .
Angenommen es würde gelten.
Dann gibt es ein , sodass gilt.
Da kein Teiler von ist, wohl aber , ist ebenfalls kein Teiler von und damit ein kleinerer Nichtteiler als . Widerspruch.

Was sagt ihr dazu?

@IfindU: Das ist das gleiche wie dein Weg, richtig? verwirrt
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
(EDIT: Zu spät...)


HAL, hatte sich dein ursprünglicher Beitrag mit dem von IfindU überschnitten?
Ich wundere mich gerade dass du kompletten Beitrag gelöscht hast und fürchte du denkst, ich würde mich nicht "genug" für den Thread interessieren. Dem ist allerdings nicht so.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte eine ähnliche Anmerkung wie IfindU (d.h. bzgl. n=2), die sich nun aber erledigt hat.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ichwarneu
Sei .
Angenommen es würde gelten.
Dann gibt es ein , sodass gilt.
Da kein Teiler von ist, wohl aber , ist ebenfalls kein Teiler von

Es ist tatsächlich der gleiche Ansatz, da ist. Die Folgerung, dass nicht teilen kann, benötigt mehr Annahmen.

So ist und eine "blöde" Situation. Dann ist und teilt diesmal . Wichtig ist aber, es teilt nicht . Da muss man also detaillierter arbeiten.

Edit: Für gilt die Aussage also nicht. Für ist man in der netten Situation, dass gilt.
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
Die Folgerung, dass nicht teilen kann, benötigt mehr Annahmen.


Ich komme nicht drauf, welche.
Ich sehe ein, dass nicht zwingend 1 sein muss.

Zitat:
Original von HAL 9000 Ich hatte eine ähnliche Anmerkung wie IfindU (d.h. bzgl. n=2), die sich nun aber erledigt hat.


Danke, HAL, für die Klarstellung,
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilerfremdheit zeigen
Wir müssen annehmen , ansonsten ist die Aussage falsch. Dann haben wir:
teilt nicht , also teilt nicht . Würde nun teilen, so dann teilen.

Da gilt , d.h. . Da nach Voraussetzung , ist ein Widerspruch gefunden.

Ich denke es gibt was deutlich eleganteres, aber das liegt nun bei dir Augenzwinkern

Edit: Es ist tatsächlich ein Einzeiler, wenn man die Kernidee von oben anwendet. Aber den Spaß nehme ich dir nicht smile
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sehr.
Ich gehe mal in die neuerliche Winterlandschaft und denke darüber nach, dann melde ich mich wieder Augenzwinkern
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Da bin ich wieder.
Mir ist in der Kälte eine Idee gekommen, vielleicht ist es die von dir angesprochene.

Sei das kleinste Element, dass nicht teilt.
Dann ist eine Primzahl. Denn wäre sie zusammengesetzt, dann gibt es Primzahlen und mit und da kein Teiler von ist, ist mindestens einer von auch keiner, was im Widerspruch zur Minimalität von steht.
Weiterhin folgt, dass kein Vielfaches von ist.
Also gilt .
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Was wäre, wenn wäre. Dann wäre die kleinste Zahl, welche nicht teilt, die Zahl . Und das ist keine Primzahl.
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Dann komme ich nicht drauf unglücklich

Edit: Mit meinem Pythonskript stelle ich immerhin fest, dass der kleinste Nichtteiler für ein solches zumindest immer prim ist.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Beweis war leider auch falsch. Es beruhte auf der Annahme, dass:

Die kleinste Zahl , welche nicht teilt, erfüllt .

Leider zerschießt das gleiche Gegenbeispiel den Beweis. Meine Hoffnung war nun die Aussage
noch retten zu können. Sehe aber auch gerade nicht wieso das gelten soll, wenn möglich ist.
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