Quadratur des Achtecks

28.11.2021, 23:49

Ulrich Ruhnau

Quadratur des Achtecks

Es ist ein regelmäßiges Achteck mit Umkreisradius 1 und den Eckpunkten B und C gegeben. Außerdem hat das blaue Dreieck die Kathetenlängen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac 12 \end{eqnarray*}$ . Kann hier jemand erklären, warum das rote Dreieck eine Kathetenlänge von $\begin{eqnarray*} \frac 13 \end{eqnarray*}$ haben muß?
[attach]54073[/attach]

29.11.2021, 00:14

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gerade $\begin{align*} AD \end{align*}$ hat die Gleichung $\begin{align*} y = \frac{1}{2} x \end{align*}$ , die Gerade $\begin{align*} CE \end{align*}$ die Gleichung $\begin{align*} y = \sqrt{2} - x \end{align*}$ . Mit den Gleichungen berechnet man den Schnittpunkt:

$\begin{align*} E = \left( \frac{2}{3} \sqrt{2} , \frac{1}{3} \sqrt{2} \right) \end{align*}$

Der Abstand von $\begin{align*} E \end{align*}$ und $\begin{align*} C = \left( \frac{1}{2} \sqrt{2} , \frac{1}{2} \sqrt{2} \right) \end{align*}$ ist dann eben $\begin{align*} \frac{1}{3} \end{align*}$ .

29.11.2021, 00:15

Gualtiero

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde da den Tangens bemühen.

Das blaue rw. Dreieck hat im Ursprung einen Winkel von $\begin{eqnarray*} \arctan 0.5 \end{eqnarray*}$ .

Das rote rw. Dreieck hat im Ursprung einen Winkel von $\begin{eqnarray*} (45° - \arctan 0.5) \end{eqnarray*}$ , und davon der Tangens ergibt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Sorry Leopold, habe Dich nicht gesehen.

29.11.2021, 01:18

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Gualtiero
Ich würde da den Tangens bemühen.

Um den Tangens geht es mir ja gerade. Leonard Euler fand u.a. die Formel

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4}=\arctan \frac 12+\arctan \frac 13 \end{eqnarray*}$

um Pi zu berechnen. Da habe ich mich gefragt, wie man auf diese Formel kommt, damit ich nach weiteren Formeln suchen kann. Zur Zeit arbeite ich das Buch $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ durch. Es enthält eine spannede Geschichte zur Zahl $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ mit vielen Anregungen, aber wenig Herleitungen.

@ Leopold
Großen Dank auch! smile

Vielleicht hilft mir diese Erkenntnis weiter auf der Suche nach ähnlichen Ansätzen.

29.11.2021, 08:21

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Auf rein rechnerischer Ebene kann man diesbezüglich auch Additionstheorem

$\begin{eqnarray*} \arctan(x) + \arctan(y) = \arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} xy<1 \end{eqnarray*}$

bemühen: Bekanntlich ist $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} = \arctan(1) \end{eqnarray*}$ , daher nehmen wir $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} y=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und bekommen

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} - \arctan\left(\frac{1}{2}\right) = \arctan(1) + \arctan\left(-\frac{1}{2}\right) = \arctan\left(\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}\right) = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) \end{eqnarray*}$ .

Wenn du noch viele weitere Arkustangens-Linearkombinationen auf dem Weg zu $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ausprobieren willst, wie etwa $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} = 4\arctan\left(\frac{1}{5}\right) - \arctan\left(\frac{1}{239}\right) \end{eqnarray*}$ , ist das vielleicht einfacher als jedesmal spezifische Skizzen zu erstellen. smile

29.11.2021, 08:51

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau

Zitat:

Original von Gualtiero
Ich würde da den Tangens bemühen.

Um den Tangens geht es mir ja gerade.

Empfindsame Seelen hören in diesem "ja" einen Vorwurf. Als ob Gualtiero wissen könnte, welche Absicht hinter deiner Frage steckt. unglücklich

Ein typischer "Ruhnau".

Glücklicherweise scheint mir Gualtiero robust zu sein. Der steht über so etwas... Augenzwinkern

29.11.2021, 15:57

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Als ob Gualtiero wissen könnte, welche Absicht hinter deiner Frage steckt. unglücklich

Ein typischer "Ruhnau".

Ob ich es als Fragesteller auf Matheboard jemals zur Meisterschaft bringen werde, wage ich zu bezweifeln. Aber wenigstens habe ich die Aufgabe klar formuliert mit Bild und Latex. An der guten Antwort von HAL, die mein Problem am besten löst, erkenne ich, daß ein paar Zeilen mehr zu meiner Absicht gut getan hätten. geschockt

Danke nochmal an alle! Wink

29.11.2021, 16:26

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Auf rein rechnerischer Ebene kann man diesbezüglich auch Additionstheorem

$\begin{eqnarray*} \arctan(x) + \arctan(y) = \arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} xy<1 \end{eqnarray*}$

bemühen: ...

Da steht in meiner Formelsammlung

$\begin{eqnarray*} \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \end{eqnarray*}$

und nun sehe ich, daß ich mit $\begin{eqnarray*} x = \tan\alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y = \tan\beta \end{eqnarray*}$ ganz leicht auf HALs nützliche Formel hätte kommen können.

29.11.2021, 16:43

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Wobei Bedingung $\begin{eqnarray*} xy<1 \end{eqnarray*}$ wichtig ist: Für $\begin{eqnarray*} xy>1 \end{eqnarray*}$ musst du rechts nämlich (je nach Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ ) den Offset $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ addieren oder subtrahieren.

29.11.2021, 17:26

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau

Zitat:

Original von Leopold
Als ob Gualtiero wissen könnte, welche Absicht hinter deiner Frage steckt. unglücklich

Ein typischer "Ruhnau".

Ob ich es als Fragesteller auf Matheboard jemals zur Meisterschaft bringen werde, wage ich zu bezweifeln. [...]

Willkommen im
"Ein typischer ..." -Klub Wink

29.11.2021, 18:11

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Hoch lebe die Solidarität unter der Unterdrückten - bzw. derjenigen, die sich dafür halten. smile

30.11.2021, 12:07

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dopap
Willkommen im
"Ein typischer ..." -Klub Wink

Ein typischer "Dopap".

30.11.2021, 19:49

quadrierer

Auf diesen Beitrag antworten »

Wo bleibt die „Quadratur des Achtecks“, die der Beitragtitel verspricht? Ach ja, wie das geht, insbesondere die Quadratur des (Summe-Rechteck=Achteck-Fläche ) ist seit der Antike schon bekannt. Wurde da vielleicht an weitere mögliche klassische Konstruktionen gedacht, die auch bei Wikipedia noch nicht zu finden sind?

30.11.2021, 22:16

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} \arctan(x) + \arctan(y) = \arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} xy<1 \end{eqnarray*}$

@quadrierer
Ich könnte schon mal ein Program ansetzen, das mit

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{n} = m\arctan\left(\frac{j}{k}\right) - \arctan\left(\frac{l}{p}\right) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} n,m,j,k,l,p\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ auf die Suche geht, um gut konvergente Reihen für die Berechnung von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ zu finden, wie z.B:

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} = 4\arctan\left(\frac{1}{5}\right) - \arctan\left(\frac{1}{239}\right) \end{eqnarray*}$ ,

die in dieser Reihe schnell konvergieren: $\begin{eqnarray*} \arctan x=x-\frac 13x^3+\frac 15x^5-\ldots+\ldots \end{eqnarray*}$

Aber im Moment bin ich nicht verspielt genug. Schläfer

Ich arbeite lieber die Bücher durch, die ich mir zu diesen Themen neu gekauft habe. Lesen1

Da ist noch von viel effizienteren Verfahren die Rede. Eigentlich will ich kein großer Stellenjäger werden, sondern bin nur neugierig auf numerische Verfahren, die mir helfen können, meine physikalischen Probleme effizienter anzugehen. Denn anstatt $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ auszurechnen, könnte man ja auch andere Dinge ausrechnen. Augenzwinkern

01.12.2021, 14:42

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Eigentlich will ich kein großer Stellenjäger werden

Die arctan-Reihe besitzt eine gewisse historische Bedeutung bei der Stellenjagd: Das Knacken der 100000-Stellenmarke im Jahr 1961 geschah mit einer solchen arctan-Kombination.

Mittlerweile setzen die Stellenjäger aber auf andere Reihen mit höherer Konvergenzgeschwindigkeit: Siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl , Abschnitt "Rekorde" für einen Überblick dazu.

01.12.2021, 20:21

quadrierer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau

...auf die Suche geht, um gut konvergente Reihen für die Berechnung von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ zu finden, wie z.B: $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} = 4\arctan\left(\frac{1}{5}\right) - \arctan\left(\frac{1}{239}\right) \end{eqnarray*}$ , die in dieser Reihe schnell konvergieren: $\begin{eqnarray*} \arctan x=x-\frac 13x^3+\frac 15x^5-\ldots+\ldots \end{eqnarray*}$

Ich verstehe es so. Du strebst auch danach, die Zusammenhänge zur Gregory-Leibnitz-Reihe besser zu verstehen, um letztlich das Konvergieren von schwach auf stark verbessern zu können. Meine laienhaften Betrachtungen und Forschungen dazu können bei https://www.cohaerentic.com/index.php/si...si/pid/pide/mit nachgelesen werden. Dabei werden gerade und ungerade Zahlen gleich oft bemüht. Keine Art wird bevorzugt. Mit offenbar mehr Symmetrie wird zu einer stärker konvergierenden Reihe gegenüber der Leibnitz-Reihe gelangt. Sie leistet das Erwartete, ohne dass ich genau weiss, warum?

Ich würde gerne die aufgezeigte Wissenslücke schliessen. Die grosse Frage ist, wie muss ein geometrischer, klassisch konstruierter Grenzprozess mit Vielecken ausgeführt sein, damit er gegen das Kreisverhältnis konvergiert und daraus auf die besagte endlose numerische Rechenvorschrift "stark konvergente unendliche Reihe" gefolgert werden kann und umgekehrt?

02.12.2021, 00:26

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von quadrierer
.... Die grosse Frage ist, wie muss ein geometrischer, klassisch konstruierter Grenzprozess mit Vielecken ausgeführt sein, ...

Ein typischer quadrierer Big Laugh

02.12.2021, 10:23

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hat er sich einfach im Thread geirrt (Konstruierter Pi-Grenzprozess). Hier im Thread ging es ja eher um $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ -Berechnung mittels endlicher arctan-Linearkombinationen statt um Konstruktion von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ .

03.12.2021, 09:44

quadrierer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Hier im Thread ging es ja eher um $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ -Berechnung mittels endlicher arctan-Linearkombinationen statt um Konstruktion von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ .

.
Das liest sich ja gerade so, als würde Beides in völlig getrennten Welten stattfinden und hätte nichts miteinander zu tun?

03.12.2021, 09:53

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein typischer quadrierer: Anderen ständig Aussagen unterschieben, die sie nicht gesagt haben. unglücklich

Muss es denn sein, dass du das gesamte Board mit deinem "klassisch konstruierten Grenzprozess"-Sprachmüll verseuchst? Kannst dich doch auf den Thread beschränken, in dem es eh schon um die Konstruktion von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ geht. Augenzwinkern

---------------------------------------------------------

Eine andere Sichtweise auf die Addition der arctan-Werte ist die:

$\begin{eqnarray*} \arctan\left(\frac{p}{q}\right) \end{eqnarray*}$ ist ja im Fall $\begin{eqnarray*} q>0 \end{eqnarray*}$ gleich dem Argument der komplexen Zahl $\begin{eqnarray*} q+pi \end{eqnarray*}$ . In dem Sinne ist dann $\begin{eqnarray*} \arctan\left(\frac{p}{q}\right)+\arctan\left(\frac{r}{s}\right) \end{eqnarray*}$ gleich dem Argument von $\begin{eqnarray*} (q+pi)(s+ri) \end{eqnarray*}$ , zumindest modulo $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ , genauso $\begin{eqnarray*} n\arctan\left(\frac{p}{q}\right) \end{eqnarray*}$ dann gleich dem Argument von $\begin{eqnarray*} (q+pi)^n \end{eqnarray*}$ .

Bezogen auf den Threadstart heißt das $\begin{eqnarray*} (2+i)(3+i) = 5+5i = 5(1+i) \end{eqnarray*}$ , oder später $\begin{eqnarray*} (5+i)^4(239-i) = (476+489i)(239-i) = 114244(1+i) \end{eqnarray*}$ .

03.12.2021, 16:27

quadrierer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000

Ein typischer quadrierer: Anderen ständig Aussagen unterschieben, die sie nicht gesagt haben. unglücklich

Ehe ich Jemand etwas unterschiebe, frage ich bei unklaren Aussagen vorsichtshalber erst nochmal nach (siehe Fragezeichen an dem unterstellten Umterschieben). Erwartet wird dann nur eine verständliche Klarstellung zur angefragten Problematik.

Es tut mit leid, wenn es bei dir vielleicht nicht so angekommen ist.
Andersrum wird auch mir, mit Benutzername „Quadrierer“, klischeehaft Erwartetes unterstellt, was ich aber nie behauptet habe.

Aus Mangel an mir zugänglicher Literatur mit fachspezifischen Begriffen, habe ich den Kurzbegriff „klassich konstruierter Grenzprozess“ erdacht. Er beschreibt von mir betrachtete Sachverhalte und Zusammenhänge, bei denen klassisch konstruierte, endlos fortsetzbare Prozesse quasi stetige Folgen von Punkten oder auch Objekte-Lagen erzeugen, die einem Grenzpunkt oder Grenzzustand zustreben, Was ist daran so falsch, dass du diesen Begriff-Versuch ohne entsprechende Erklärung und Diskussion zum Sprachmüll und zum Seuchenpotetial erklärst?

03.12.2021, 17:13

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist, daß du einen Begriff prägst für etwas, das es schon lange gibt. Selbstverständlich kann man Punkte $\begin{align*} P_n \end{align*}$ des zweidimensionalen euklidischen Raumes betrachten, die einem Grenzpunkt $\begin{align*} P \end{align*}$ zustreben:

$\begin{align*} P_n \to P \ \ \mbox{für} \ \ n \to \infty \end{align*}$

Und selbstverständlich kann man an eine Rekursion, die solche Punkte erzeugt, spezielle Anforderungen stellen, zum Beispiel, daß ein Punkt $\begin{align*} P_n \end{align*}$ aus seinen Vorgängern durch eine klassische Konstruktion mit Zirkel und Lineal hervorgehen muß. Was hier keiner versteht, ist, daß du dann auf einmal wieder Unterschiede machst zwischen "guten" Konstruktionen, die in deinem Sinne sind, und "nicht so guten", die nicht in deinem Sinne sind. Wenn dann von andern nachgefragt wird, worauf sich denn deine Kriterien beziehen, kommt nichts Substantielles von dir. Geht es dir um Konvergenzgeschwindigkeiten? Der Spur ist HAL nachgegangen. Er konnte aber schnell nachweisen, daß das bei deinen Konstruktionen nicht gerade ein hervorstechendes Merkmal ist. Dann könnte es etwas anderes sein, das deine Konstruktionen vor anderen auszeichnet. Und da gelingt es dir einfach nicht zu erklären, was das sein könnte. Daß ich manches von dir recht witzig finde, habe ich dir schon gesagt. Aber da geht es um Ästhetik und nicht um strenge Mathematik.

03.12.2021, 22:01

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Eine andere Sichtweise auf die Addition der arctan-Werte ist die:

$\begin{eqnarray*} \arctan\left(\frac{p}{q}\right) \end{eqnarray*}$ ist ja im Fall $\begin{eqnarray*} q>0 \end{eqnarray*}$ gleich dem Argument der komplexen Zahl $\begin{eqnarray*} q+pi \end{eqnarray*}$ . In dem Sinne ist dann $\begin{eqnarray*} \arctan\left(\frac{p}{q}\right)+\arctan\left(\frac{r}{s}\right) \end{eqnarray*}$ gleich dem Argument von $\begin{eqnarray*} (q+pi)(s+ri) \end{eqnarray*}$ , zumindest modulo $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ , genauso $\begin{eqnarray*} n\arctan\left(\frac{p}{q}\right) \end{eqnarray*}$ dann gleich dem Argument von $\begin{eqnarray*} (q+pi)^n \end{eqnarray*}$ .

Bezogen auf den Threadstart heißt das $\begin{eqnarray*} (2+i)(3+i) = 5+5i = 5(1+i) \end{eqnarray*}$ , oder später $\begin{eqnarray*} (5+i)^4(239-i) = (476+489i)(239-i) = 114244(1+i) \end{eqnarray*}$ .

Eine tolle Idee. Tanzen

So spart man Rechenzeit Freude

für die Suche nach guten $\begin{eqnarray*} arctan \end{eqnarray*}$ - Formeln zur $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ - Bestimmung.

03.12.2021, 22:55

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von quadrierer
... Dabei werden gerade und ungerade Zahlen gleich oft bemüht. Keine Art wird bevorzugt.

Für Gleichberechtiung zwischen geraden und ungeraden Zahlen! Prost

Jawoll!

Zitat:

Original von quadrierer
Mit offenbar mehr Symmetrie wird zu einer stärker konvergierenden Reihe gegenüber der Leibnitz-Reihe gelangt.

Wehe, Du langst meine Leibnizreihe an! Zunge

Dann gibts was auf die Finger! LOL Hammer

Zitat:

Ich würde gerne die aufgezeigte Wissenslücke schliessen. Die grosse Frage ist, wie muss ein geometrischer, klassisch konstruierter Grenzprozess mit Vielecken ausgeführt sein, damit er gegen das Kreisverhältnis konvergiert und daraus auf die besagte endlose numerische Rechenvorschrift "stark konvergente unendliche Reihe" gefolgert werden kann und umgekehrt?

Also Spaß beiseite. Du ziehst mit dem Zirkel einen Halbkreis mit Radius 1 und stopfst diesen mit rechtwinkligen Dreiecken voll so gut es geht. Dann approximierst Du die Halbkreisbogenlänge, indem Du gefühlte tausend mal den Pythagoras bemühst. Wenn es Dir gelungen ist, eine Zahl für die Bogenlänge zu finden, dann überlegst Du Dir, wie Du mit noch mehr Dreiecken die Genauigkeit steigern kannst. Falls Dir das aber auf die Dauer zu mühselig vorkommt, dann schaue, was für Verfahren es noch gibt, $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ genau auszurechnen! Willkommen

Ich zitiere mal aus dem Buch von Jörg Arndt und Christoph Haenel:

Archimedes begann mit regelmäßigen Sechsecken und schritt über 12-, 24- und 48-Ecke zu Polynonen mit 96 Seiten fort. Mit ihnen fand er für $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ als untere Grenze $\begin{eqnarray*} 3\frac{10}{71} \end{eqnarray*}$ und als obere Grenze $\begin{eqnarray*} 3\frac 17 \end{eqnarray*}$ ; beide Werte sind auf zwei Nachkommastellen genau, der erste genauer als der zweite, der immer noch genauer ist als unser dezimales 3.14.

05.12.2021, 08:21

quadrierer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Was hier keiner versteht, ist, daß du dann auf einmal wieder Unterschiede machst zwischen "guten" Konstruktionen, die in deinem Sinne sind, und "nicht so guten", die nicht in deinem Sinne sind. Wenn dann von andern nachgefragt wird, worauf sich denn deine Kriterien beziehen, kommt nichts Substantielles von dir. Geht es dir um Konvergenzgeschwindigkeiten?

Ohne das konkrete Nennen der guten und nicht so guten Konstruktionen tappe ich im Dunkeln? Es ist wieder so eine typische Situation, bei der aneinander vorbei Reden droht. Ich habe meine Sichtweise, die sich an der Sichtweise der „amtlichen“ Mathematik“ in Sachen „klassisch konstruierte Grenzprozesse für elementare Berechnungsprozesse“ ein paar Klarstellungen wünscht. Lernende sollen nicht verwirrt werden. Worum geht es dabei konkret?
Es geht hierbei um elementares Berechnen, um elementare Rechenoperationen, die mit „klassischen Konstruktionen“ im zweidimensionalen euklidischen Raum, mit den Beschränkungen auf Sequenzen der „Kreis- und Gerade-Kurven-Objekte“ ausgeführt werden. Reichen die Kreiskurve und erweitert die Kreis- und Gerade-Kurve als mathematischer Zusammenhang aus, um damit beispielsweise das Winkeldrittel (Dreiteilung des Winkels, Winkeldreiteilung) oder das Kreisverhältnis \pi in ihrer Grösse zu bestimmen und darzustellen?

Gelehrt wird heute sinngemäss (siehe hierzu auch Wikipedia bei „ Dreiteilung des Winkels„):

Die Winkeldreiteilung ist im Allgemeinen klassisch nicht konstruierbar.

Ich wünsche mir hier die folgende sinngemäss klarstellende Aussage.

Die Grösse des Winkeldrittel ist klassich konstruiert nur unvollständig darstellbar.

Dann gibt es noch das Problem „Näherung“. Die undifferenzierter Benutzung des Begriffs „Näherung“ führt zu Verwirrung, was aus einem Gleichsetzen von „begrenzter/beschränkter Näherung „ und unbegrenzter/unbeschränkter Näherung resultiert.

Besonderes Augenmerk lege ich bei den klassisch konstruierten Grenzprozessen auf anschaulich nachvollziehbare und effiziente Konstruktionen / Berechnungen. Brauchbare Ergebnisse sollen schon nach extrem wenigen Schritten ermittelt sein, gemessen an den theoretisch möglichen endlos vielen Schritten.

Zitat:

Original von Leopold
Das Problem ist, daß du einen Begriff prägst für etwas, das es schon lange gibt. Selbstverständlich kann man Punkte $\begin{align*} P_n \end{align*}$ des zweidimensionalen euklidischen Raumes betrachten, die einem Grenzpunkt $\begin{align*} P \end{align*}$ zustreben:

Hier würde ich dich bitten, mir deine konkreten Quellen zu nennen, „für etwas, das es schon lange gibt“ und auch für konstruierte Grenzprozesse, die einem Grenzpunkt $\begin{align*} P \end{align*}$ zustreben und die Zeiten durchlebt haben. Nicht die immer aufs Neue vergessenen und ausgesparten Grenzprozess-Ansätze für eine klassische Konstruktion. Diese Ansätze kenne ich, wie die Idee des Antiphon, die Quadratrix-Interpretation des Dinostratos, und das das Winkeldritteln mit Halbierungen des Fialkowski usw.

05.12.2021, 09:08

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Grenzprozesse gibt es in der Mathematik schon seit der Antike. Ich nenne nur Archimedes von Syrakus, aber es gibt auch andere, zum Beispiel Heron von Alexandria. Die Analysis, die sich seit dem 17. Jahrhundert entwickelt hat, arbeitete immer schon intuitiv mit Grenzprozessen. Die Präzisierung des Begriffs Grenzwert erfolgte im 19. Jahrhundert. Wesentlich daran beteiligt war Augustin-Louis Cauchy. Viele Begriffe in diesem Bereich tragen heute noch seinen Namen. Durch Ausbildung der Mengenlehre gegen Ende des 19. Jahrhunderts entstand eine ganz neue Vorstellung des Raumbegriffs. Die Topologie des 20. Jahrhunderts schuf einen Reichtum an neuen geometrischen Vorstellungen, die alles bisher Dagewesene in den Schatten stellte. Das, was dich umtreibt, ist nach Maßstäben der Topologie nur noch ein Sonderfall, wenn auch ein wichtiger: der zweidimensionale Raum mit aufgeprägter euklidischer Topologie. In diesem findet alles statt, was sich mit Grenzprozessen von Punkten der Ebene beschäftigt, erst recht, wenn diese Punkte rekursiv durch eine klassische Konstruktion aus ihren Vorgängern erzeugt werden. Diese klassischen Konstruktionen spiegeln sich rechnerisch wider durch das sukzessive Lösen linearer und quadratischer Gleichungen in den Koordinaten der Punkte. Das ist alles.

Und wieder arbeitest du mit Begriffen wie "begrenzter/beschränkter Näherung" und "unbegrenzter/unbeschränkter Näherung". Solange du nicht sauber in der Sprache der modernen Mathematik definierst, was du darunter verstehst, wirst du hier niemanden finden, der dir folgt. Wir drehen uns sozusagen im Kreise. Immerhin ein Objekt der klassischen euklidischen Geometrie.

05.12.2021, 13:43

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Felix Hausdorff (geboren am 8. November 1868 in Breslau; gestorben am 26. Januar 1942 in Bonn) hat im 20. Jahrhundert enorm viel zur Mengenlehre, Topologie und anderen Bereichen der Mathematik beigetragen. https://de.wikipedia.org/wiki/Felix_Hausdorff
Wer über den einen oder anderen Tellerrand hinausschauen möchte, dem seien seine gesammelten Werke empfohlen, deren Herausgabe im Springer Verlag erst in diesem Jahr mit dem Band VI "Geometrie, Raum und Zeit" vollendet wurde. https://www.springer.com/series/4649
Durch die bewußtseinserweiternde Lektüre dieses Bandes war ich anschließend befähigt , Torsten Fließbach, "Allgemeine Relativitätstheorie" Spektrum Lehrbuch, einigermaßen vollständig zu begreifen.
Wer sich mit Geometrie und ihren Anwendungen beschäftigen will, kommt heute ohne David Hilbert und Felix Hausdorff auf keinen grünen Zweig ... da fällt mir noch Wilhelm Busch ein: „Wenn einer, der mit Mühe kaum // Gekrochen ist auf einen Baum, // Schon meint, daß er ein Vogel wär, // So irrt sich der.“

Neue Frage »

Antworten »

Quadratur des Achtecks

Verwandte Themen