Mengen abzählbar unendlich

29.11.2021, 08:10

Dereineda

Mengen abzählbar unendlich

Guten Morgen, stehe bei folgender Aufgabe an:

Beweisen oder widerlegen Sie:
Wenn zwei Mengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ abzählbar unendlich sind, dann sind sie auch isomorph.

Ich weis leider nicht wie ich das angehen soll. Bisherige Überlegung ist.

Isomorph: Elemente von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sind 1 zu 1 zuordnungsbar.

abzählbar unendlich: Genau dann wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ nicht endlich sind und wenn es eine bijektive Abbildung $\begin{eqnarray*} f: A \rightarrow B \end{eqnarray*}$ gibt.

Das die Mengen 1 zu 1 zuordnungsbar ergibt sich meiner Meinung nach ja schon aus der bijektivität, aber wie zeige ich das?

29.11.2021, 10:51

Malcang

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RE: Mengen abzählbar unendlich

Zitat:

Original von Dereineda
abzählbar unendlich: Genau dann wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ nicht endlich sind und wenn es eine bijektive Abbildung $\begin{eqnarray*} f: A \rightarrow B \end{eqnarray*}$ gibt.

Das ist nicht die Definition der Abzählbarkeit.
$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist abzählbar, wenn es eine bijektive Abbildung $\begin{eqnarray*} f: \mathbb N\rightarrow A \end{eqnarray*}$ gibt.
Gleiches natürlich für B.

Bleiben wir doch wirklich mal bei der Abbildung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Was bedeutet es, dass diese bijektiv ist?

Hier macht es Sinn, das wirklich mal Pfeildiagramm zu zeichnen.
Beispielsweise so:
Sei $\begin{eqnarray*} A = \left\{ a_1, a_2,\dots \right\} \end{eqnarray*}$ .
Dann könnte $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ja folgendes machen:
$\begin{eqnarray*} 1 \mapsto a_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2\mapsto a_{54} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3\mapsto a_{10000} \end{eqnarray*}$

und so weiter.

Was gilt für die bijektive Abbildung $\begin{eqnarray*} g: \mathbb N\rightarrow B \end{eqnarray*}$ ?

29.11.2021, 15:56

Dereineda

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Ach also habe ich dann $\begin{eqnarray*} f: \mathbb N\rightarrow A \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f: \mathbb N\rightarrow B \end{eqnarray*}$ ?

Bijektiv heißt die Abbildung ist surjektiv und injektiv. Was wiederum heißt: injektiv bedeutet, dass keine zwei verschiedenen Elemente der Definitionsmenge auf das gleiche Element der Zielmenge abgebildet werden. Also aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ nur jeweils ein "Pfeil" auf A (oder B) zeigt.
Surjektiv zeigt, dass jeder "Punkt" in A (oder B) getroffen wird.

Das ist ja auch was du mit dem Pfeildiagram gezeigt hast. für B sieht das dann vom Prinzip genau gleich aus.

29.11.2021, 15:58

Malcang

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Zitat:

Original von Dereineda
Ach also habe ich dann $\begin{eqnarray*} f: \mathbb N\rightarrow A \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f: \mathbb N\rightarrow B \end{eqnarray*}$ ?

Nein, du hast $\begin{eqnarray*} f: \mathbb N\rightarrow A \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g: \mathbb N\rightarrow B \end{eqnarray*}$

30.11.2021, 08:43

Dereineda

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Ja logisch ist ja nicht die selbe Funktion. Sorry dafür. Wie baue ich denn jetzt den Beweis auf? Muss ich von der Definition von f und g zu der Definition von abzählbar unendlich kommen, damit das gezeigt ist?

30.11.2021, 09:09

Elvis

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Intelligenztest für Dreijährige.
Der Weihnachtsmann kann mit seinem Rentierschlitten vom Nordpol nach Adorf und zurück fliegen. Er kann auch vom Nordpol nach Bdorf und zurück fliegen. Wie kann der Weihnachtsmann mit seinem Rentierschlitten von Adorf nach Bdorf fliegen?

30.11.2021, 09:17

Dereineda

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Adorf -> Nordpol -> Bdorf

30.11.2021, 09:21

Elvis

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Bestanden. Freude

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