Vektorräume

29.11.2021, 15:16	NN1	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorräume Meine Frage: Finden Sie einen Vektorraum V und lineare Abbildungen phi , psi: V-? V, so dass phi injektiv, aber nicht surjektiv ist, und psi surjektiv, aber nicht injektiv ist. Meine Ideen: ?
30.11.2021, 13:03	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorräume Ich mache mal einen Vorschlag. Man betrachte den Vektorraum der Polynome über einem Körper $\begin{eqnarray} \mathbb K \end{eqnarray}$ , z. B. $\begin{eqnarray} \mathbb K = \mathbb R \end{eqnarray}$ . https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Polynomr%C3%A4ume Um Verwechselungen zwischen dem Nullvektor und der Zahl $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ zu vermeiden, sei der Nullvektor mit $\begin{eqnarray} \vec 0 \end{eqnarray}$ bezeichnet. Die Abbildung $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ sei definiert durch $\begin{eqnarray} \varphi (\vec 0)=\vec 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varphi (x^n)=x^{n+1} \end{eqnarray}$ Die Abbildung $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ eines beliebigen anderen Polynoms sei durch die Linearitätsdefinition definiert. Damit ist $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ per Definition eine lineare Abbildung. $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ist offensichtlich injektiv. $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ist aber nicht surjektiv, denn das Polynom $\begin{eqnarray} x^0 \end{eqnarray}$ kann nicht als Bild von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ auftreten. Die Abbildung $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ sei definiert durch $\begin{eqnarray} \psi (\vec 0)=\vec 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \psi (x^0)=\vec 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \psi (x^n)= x^{n-1} \text { für } n \geq 1 \end{eqnarray}$ Die Abbildung $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ eines beliebigen anderen Polynoms sei durch die Linearitätsdefinition definiert. Damit ist $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ per Definition eine lineare Abbildung. $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ ist offensichtlich surjektiv. $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ ist aber nicht injektiv, denn alle Vektoren $\begin{eqnarray} \alpha x^0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray}$ werden auf den Nullvektor abgebildet.

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