Vektorraum, lineare Abbildung

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NN1 Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum, lineare Abbildung
Meine Frage:
Sei V ein Vektorraum, phi : V-> V eine lineare Abbildung, v E V
ein Vektor. Die Folge (vi) wird definiert durch vo = v, Vi+1= phi (vi). Angenommen, vo, v1,?, vn sind von 0 verschieden, aber vn+1 = 0. Zeigen Sie, dass dann {v0, . .., vn} linear unabhängig ist.

Meine Ideen:
.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Nachweis der Linearen Unabhängigkeit gehen wir von mit (zugeordneter Körper zum Vektorraum V) aus - Ziel ist es nachzuweisen, dass dies nur für funktioniert.

Wenden wir auf diese Gleichung an, so folgt aus der Linearität sowie wegen

.

Was passiert, wenn wir die Anwendung von nun (mehrfach) wiederholen?
NN1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich Phi immer wieder anwende, dann kann ich im Grunde genommen alle Vektoren nach und nach „rausschmeißen“, sodass x0 * vn= 0 rauskommt, also ist x0=0, da vn per Definition ungleich 0 ist.
Wie kann ich nun aber auf die anderen x schließen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von NN1
Wenn ich Phi immer wieder anwende, dann kann ich im Grunde genommen alle Vektoren nach und nach „rausschmeißen“, sodass x0 * vn= 0 rauskommt, also ist x0=0, da vn per Definition ungleich 0 ist.

Es ist schon ein wenig blöd, wenn mitten im Flug die Variable gewechselt wird. Korrekterweise muß es heißen, woraus dann a_0 = 0 folgt.

Mit dieser Erkenntnis reduziert sich die Gleichung auf .
Wende auf diese Gleichung die Abbildung n-1 mal an. smile
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