Vektorraum, lineare Abbildung |
29.11.2021, 15:23 | NN1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vektorraum, lineare Abbildung Sei V ein Vektorraum, phi : V-> V eine lineare Abbildung, v E V ein Vektor. Die Folge (vi) wird definiert durch vo = v, Vi+1= phi (vi). Angenommen, vo, v1,?, vn sind von 0 verschieden, aber vn+1 = 0. Zeigen Sie, dass dann {v0, . .., vn} linear unabhängig ist. Meine Ideen: . |
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30.11.2021, 13:17 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zum Nachweis der Linearen Unabhängigkeit gehen wir von mit (zugeordneter Körper zum Vektorraum V) aus - Ziel ist es nachzuweisen, dass dies nur für funktioniert. Wenden wir auf diese Gleichung an, so folgt aus der Linearität sowie wegen . Was passiert, wenn wir die Anwendung von nun (mehrfach) wiederholen? |
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30.11.2021, 19:05 | NN1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn ich Phi immer wieder anwende, dann kann ich im Grunde genommen alle Vektoren nach und nach „rausschmeißen“, sodass x0 * vn= 0 rauskommt, also ist x0=0, da vn per Definition ungleich 0 ist. Wie kann ich nun aber auf die anderen x schließen? |
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01.12.2021, 08:56 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ist schon ein wenig blöd, wenn mitten im Flug die Variable gewechselt wird. Korrekterweise muß es heißen, woraus dann a_0 = 0 folgt. Mit dieser Erkenntnis reduziert sich die Gleichung auf . Wende auf diese Gleichung die Abbildung n-1 mal an. |
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