Leibnizreihe umformen

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Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
Leibnizreihe umformen
Beim Lesen von einem Buch über komme ich auf Seite 78 nicht so recht weiter.

Die Autoren schreiben, die einfach gebaute Reihe für pi



ließe sich ohne Mühe aus der Leibnizreihe



ableiten, wenn man nur die Eulertransformation verwende. Kann mir einer erklären, wie das gehen soll, oder was hier mit Eulertransformation gemeint ist?
Bei meinem Versuch, beides in Übereinstimmung zu bringen, fange ich mit der oberen Gleichung an und teile sie durch 2.



Dann multipliziere ich alles aus.



Aber leider sieht die Reihe nicht gerade wie die Leibnizreihe aus.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Leibnizreihe umformen
Wolfram-Link

Hier wird die Euler-Transformation erklärt. Ganz unten wird mit "To see why the Euler transformation works, consider Knopp's convention for difference operator and write" eine Herleitung davon illustriert. Damit kann man mit einer Leibniz-Reihe starten und die andere herleiten.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Eulersche Reihentransformation bedeutet für konvergente Reihen

,

hier angewandt auf . Wobei das hier benötigte auch nicht gerade trivial im Nachweis ist.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Danke HAL, danke IfindU ! Da habe ich für die nächste Zeit etwas zum Probieren. smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Wobei das hier benötigte auch nicht gerade trivial im Nachweis ist.

Ich kenne dafür einen Weg, der mir allerdings selbst etwas umständlich vorkommst. Wenn du trotzdem nach deinen Versuchen noch daran Interesse hast, sag Bescheid.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Diese Eulersche Reihentransformation bedeutet für konvergente Reihen

,

hier angewandt auf .

Bevor ich diese Formel benutze, will ich sie erst einmal selber hergeleitet haben.



Da erinnere ich mich an einen anderen Matheboard-Beitrag von mir wo ich mit so einem Ausdruck bereits gerechnet habe. Es gilt nämlich:

.

Mit wird daraus:



Ok! Damit habe ich soweit die Eulersche Reihentransformation für mich geprüft. Jetzt muß ich nur noch ansetzen.



Und jetzt kommt es darauf an, wie gut ich die rechte Seite umwandeln kann, bis sie bis auf einen Faktor so aussieht, wie



Ab hier könnte vielleicht helfen, zwei Terme aus der rechten Summe über k zusammenzufassen, damit das wechselnde Vorzeichen verschwindet. Aber das läßt sich ja nur für geradzahlige k und n durchführen. Wenn jetzt keine Hilfe kommt, brauche ich viel länger.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Vorgehen ist so: Gemäß Binomischen Satz ist , und dieses Integral versuche ich per partieller Integration zu berechnen!

Dass diese Idee nicht völlig aus der Luft gegriffen ist beweist die Tatsache, dass IfindU die Sache genauso angegangen ist, wie er mir per PN mitgeteilt hat. Augenzwinkern


Was deine Herleitung/Beweis der Formel zur Eulersche Reihentransformation betrifft, da habe ich noch etwas Bauchschmerzen:

Sie ist zweifelsohne in Ordnung für Reihen mit positiven Gliedern, und wohl auch für absolut konvergente Reihen .

Für "nur konvergente", d.h. nicht absolut konvergente Reihen muss man deine doch im großen Stil genutzte Reihenumordnung ob ihrer Rechtmäßigkeit zumindest in Frage stellen: Tatsächlich folgt aus der Konvergenz von ja die Konvergenz von , die Umkehrung gilt (meines Wissens nach) jedoch nicht!

Und es ist nun auch so, dass wir hier mit just eine solche konvergente, aber nicht absolut konvergente Reihe vorliegen haben.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Für "nur konvergente", d.h. nicht absolut konvergente Reihen muss man deine doch im großen Stil genutzte Reihenumordnung ob ihrer Rechtmäßigkeit zumindest in Frage stellen: Tatsächlich folgt aus der Konvergenz von ja die Konvergenz von , die Umkehrung gilt (meines Wissens nach) jedoch nicht!

Und es ist nun auch so, dass wir hier mit just eine solche konvergente, aber nicht absolut konvergente Reihe vorliegen haben.

Heist das etwa der Tröpfelalgoritmus, der auf der eulerschen Reihentransformation fußt, stehe auf wackligem Fundament? Ich meine die Leibnitzreihe



konvergiert bekanntermaßen, sodaß mit ihr alle Bauchschmerzen verschwinden müßten. Augenzwinkern
Im Übrigen finde ich Deine Umwandliung genial. Freude Ich müßte daraus, bei Gelegenheit, nur noch eine Rekursionsformel ableiten.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich stelle doch nicht in Frage, dass konvergente Reihen konvergent sind. Aber es ist eine wohlbekannte Tatsache, dass man konvergente Reihen, die nicht absolut konvergent sind, nicht beliebig umordnen darf. Tatsächlich kann man beweisen, dass für jede solche Reihe und jede vorgegebene reelle Zahl eine Umordnung existiert, so dass die umgeordnete Reihe gegen diesen Wert konvergiert. Und natürlich gibt es auch Umordnungen für jede der drei Divergenzarten: bestimmt gegen unendlich, bestimmt gegen minus unendlich, und auch unbestimmt. Augenzwinkern


Betrachten wir mal als Beispiel : Dann ist die Reihe zweifelsohne divergent. Auf der rechten Seite haben wir aber



und damit insgesamt



eine konvergente Reihe. Wenn wir nun genau dieses Beispiel nehmen und deine Betrachtungen oben durchgehen, dann gehst du ja von der konvergenten Reihe (*) aus, und machst an einer Stelle (konkret ist das gleich zu Beginn die Vertauschung der Summantionsreihenfolge) eine Umformung, die zumindest für diese Reihe unzulässig ist.


Was ich also sagen will: Sobald man keine absolute Konvergenz vorliegen hat, muss man verflucht aufpassen mit "weiträumigen" Änderungen der Summationsreihenfolge.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Mein Vorgehen ist so: Gemäß Binomischen Satz ist , und dieses Integral versuche ich per partieller Integration zu berechnen!
Ich glaube, daß das nicht nötig ist, denn mit dieser Umformung läßt sich was anfangen.

Gehe ich mal zu meinem Anfang zurück:

hier setze ich jetzt HALs Ausdruck ein.





Hätte hier nicht herauskommen müssen? Hat HAL also recht gehabt? verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderschön Ulrich! Beim letzten Schritt gestolpert, es ist Augenzwinkern

Die Frage ist nur: Wolltest du die Reihendarstellung von bekommen oder wolltest du den expliziten Wert der Summe nachrechnen?
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
Wunderschön Ulrich!

Ja, wunderschön - aber "völlig zweckfrei" (Loriot). Es ging doch darum, die Reihendarstellung

Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau

nachzuweisen! Stattdessen gehst du von der Leibnizreihe aus, machst die Eulertransformation (OHNE die Reihendarstellung wirklich auszurechnen) und machst schnurstracks kehrt zur Leibnizreihe und rechnest diese aus. Der Sinn dieses Vorgehens bleibt mir verborgen, denn dass da rauskommen muss, war doch der Ausgangspunkt. Erstaunt1


Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
Müßte da nicht bei Dir heraus kommen?

Geht es etwas genauer? Ich habe oben sehr viele Formeln gepostet - und da ich keine davon zuordnen kann, solltest du schon genauer sagen, welche du meinst. unglücklich
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

@IfindU
geschockt Irren ist menschlich.

Also

Also paßt das doch! Augenzwinkern Und HALs Bedenken erwiesen sich aus irgend einem unbekannten Grund als hier nicht zutreffend. Bleibt also die Frage übrig, wie ich auf

komme.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
Und HALs Bedenken erwiesen sich aus irgend einem unbekannten Grund als hier nicht zutreffend.

Und was willst du damit sagen? Dass deine obigen (für allgemeines ) vorgetragenen Umformungen korrekt waren - trotz des von mir oben angebrachten Gegenbeispiels ? verwirrt
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL

Ja, dein Gegenbeispiel ist gut. Warum kommt bei mir trotz dem das Richtige heraus? Gibt es da eine Regel, die etwas genauer ist als daß man absolut divergente Reihen nicht umordnen darf?
Im Moment denke ich darüber nach, wie man das Integral bestimmt.

Maple wirft dafür

heraus.

Nicht nur Dein Gegenbeispiel, sondern auch der Umstand keine Reihe mehr zu erhalten, sind für mich Gründe, das Integral lieber vor der Summe zu bestimmen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
auch der Umstand keine Reihe mehr zu erhalten, sind für mich Gründe, das Integral lieber vor der Summe zu bestimmen.

Ok, dann ist ja alles klar: Diese Äußerung von dir zeigt klar und deutlich, dass der Nachweis dieser Darstellung

Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau

NICHT mehr dein Ziel ist. Schräg, aber ist wohl so.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
Nicht nur Dein Gegenbeispiel, sondern auch der Umstand keine Reihe mehr zu erhalten, sind für mich Gründe, das Integral lieber vor der Summe zu bestimmen.

@HAL

Jetzt verstehst Du mich falsch. Bevor summiert wird, möchte ich das Integral bestimmt haben, um damit auf eine Reihe zu kommen. Denn wenn ich es anders mache wie gehabt, bekomme ich keine Reihe mehr.



Ich muß aber zugeben, daß ich bis jetzt keine Rekursion finden konnte, die mir eine Lösung für mein Integral liefert. Ich könnte das Maple-Ergebnis verwenden. Aber das zählt ja nicht. Ich möchte schon eine Herleitung. Kannst Du mir einen Tipp geben, wie ich auf die Rekursion komme?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
Zitat:
Original von HAL 9000
Mein Vorgehen ist so: Gemäß Binomischen Satz ist , und dieses Integral versuche ich per partieller Integration zu berechnen!
Ich glaube, daß das nicht nötig ist

Soll das heißen, du hast diese deine Meinung geändert? Nach deinen für mich unverständlichen Kapriolen der letzten Beiträge weiß ich nämlich überhaupt nicht mehr, wo du hier hin willst.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Na es hat sich jetzt doch herausgestellt, daß das Integral doch gelöst werden muß. Die Frage ist nur, wie man das am einfachsten macht. verwirrt Im Gegensatz zu Dir HAL irre ich ein bißchen zwischen den Wegen herum. Wie sind doch freie Menschen. Aber das Ziel hat sich nicht geändert.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte mich nur nochmal vergewissern, dass nach der Darstellung nicht ein altkluges "brauch ich doch gar nicht" erfolgt - alles schon erlebt hier...


Mit den Funktionen und somit sowie mit folgt per partieller Integration für die Gleichung

.

Das kann man umstellen zu , was zu , und mit zu eben jenem oben schon erwähnten führt.


Darstellung stimmt natürlich auch und kann in diese andere Darstellung überführt werden, wozu lediglich sowie und benötigt werden.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Nach deinen für mich unverständlichen Kapriolen der letzten Beiträge weiß ich nämlich überhaupt nicht mehr, wo du hier hin willst.


Aber HAL, das ist doch klar! Ans Ziel will er! Mein Gott, das mußt du doch merken.

Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
Und HALs Bedenken erwiesen sich aus irgend einem unbekannten Grund als hier nicht zutreffend.


Ein echter "Ruhnau". Wie immer: klar erkannt, präzise formuliert und pointiert dargeboten. Und so rücksichtsvoll gegenüber dem Adressaten.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau



Wenn du substituierst ist das ein einfaches Betaintegral:

https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Betafunktion
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold

Ich muss eine Lanze für Ulrich Ruhnau brechen: Seine Beiträge aktuell sind wesentlich angenehmer als die vor ca. einem Jahr. Big Laugh
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
.

Einfach genial! Gott Und lehrreich zugleich! Freude

Vielen, vielen Dank HAL!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Andererseits, wenn man mit Beta- und Gammafunktionen vertraut ist, braucht man mit dem von Mathema gezeichneten Weg fast gar nicht zu rechnen, man muss lediglich noch den Quotienten der Gammafunktionswerte umformen, um zur Darstellung



zu gelangen.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Damit die Numeriker hier auch auf ihre Kosten kommen, habe ich noch eine Kleinigkeit zum Konvergenzverhalten der Leibnizreihe, die im Gegensatz zu anderen Reihen nicht so gut konvergieren soll. Es geht um



Was sich numerisch praktischer umformen läßt zu



Wenn man die Klammerausdrücke zuerst berechnet und diese dann summiert, bis man n Glieder summiert hat, kommt man auf eine Annäherung von an wie eine Gerade in einer doppelt-logrithmischen Darstellung (blaue Linie).
[attach]54085[/attach]
Man erkennt aber, daß diese Linie in der Gegend von nach rechts wegknickt. Meine Rätselfrage Nr. 1 lautet: Woran liegt das? (@HAL bitte nicht antworten! Laß mal die anderen vor, Du hast schon genug getan!)

Ein weiteres Problem ist, daß wenn man alle Partialsummen abspeichern will, man Probleme bekommt, wenn die Milliardengrenze überschritten wird. Auch das Zeichen mit so vielen Punkten dauert lange. Um nun in der doppelt logarithmischen Darstellung zu äqidistanten Punkten zu kommen, habe ich die große Summe in Teilsummen zerlegt, die jeweils mit beginnen und vor aufhören. Dann ist das folgende Diagramm in 5 Sekunden gezeichnet und man kommt näher an Pi heran (blaue Quadrate) und es gibt den Rechtsknick vermutlich erst später. Der rote Knick am Anfang rührt daher, daß ich für ausnahmsweise mit beginnen muß. Ich beginne also mit 4 geteilt durch 1, 5, 9, 17, 33, 65, ... .
[attach]54086[/attach]
Wenn ich aber zusätzlich noch die Werte meiner Teilsummen (rote Rauten) gegenüber der Anzahl n der Glieder auftrage, dann decken sich die Punkte mit zunehmender Genauigkeit. Das heißt also die Summe der Restglieder entspricht ziemlich genau der letzten Teilsumme.
Meine nächste Rätselfrage: Woran liegt das?
Auf beide Fragen glaube ich so ungefähr die Antwort zu wissen. Auf die erste besser und die zweite schlechter. Aber es würde mich freuen, Eure Meinungen dazu anzuhören. Augenzwinkern
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zur ersten Frage:

Ich nehme an du hast mit double precision gerechnet. Da du schnell im Bereich von landest, bist du im Bereich von . Dort ist der absolute Fehler in der Region , d.h. etwa . Da die Klammern dann von der Form sind, können diese nicht korrekt zur bisherigen Summe gerechnet werden. Du könntest natürlich mehr Bits reservieren, um noch mehr Stellen zu bekommen.

Alternativ addierst du vorher viele der Restterme auf, so dass diese "signifikant" genug sind, um zur Originalsumme gerechnet zu werden. Ich nehme an, das hast du auch schon vermutet, weil das genau das ist, was du getan hast Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es sei



die Partialsumme der Leibnizschen Reihe mit Summanden. Jetzt betrachte man die Intervalle



Sie bilden eine Intervallschachtelung für .

Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
Du könntest natürlich mehr Bits reservieren, um noch mehr Stellen zu bekommen.

Wie soll das gehen? Aber das ist schon mal die richtige Antwort auf Frage 1. Für double-Werte stehen 52-Mantisse-Bits + ein Vorzeichenbit zur Verfügung. Für das höchstwertige Bit einer 64 Bit-double- Zahl ist kein Platz vorgesehen. Danach kommt gleich das Bit mit der Wertigkeit bis zum letzten Mantisse-Bit mit der Wertigkeit . Also Deine für die letzten beiden signifikanten Bits paßt gut. Es gibt inzwischen eine neue Norm für Quad-Genauigkeit beim Rechnen mit 128 Bit Speicherplatz. Davon sind 112+1 für die Mantisse. In welcher Weise davon etwas auf dem PC verfügbar ist, weiß ich noch nicht.

@Leopold

Deine Argumentation habe ich noch nicht ganz durchschaut. Soll diese Intervallschachtelung meine zweite Frage beantworten, warum die roten Rauten auf den blauen Quadraten liegen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
@Leopold

Deine Argumentation habe ich noch nicht ganz durchschaut. Soll diese Intervallschachtelung meine zweite Frage beantworten, warum die roten Rauten auf den blauen Quadraten liegen?


Sorry, daß ich das einfach so hingeknallt habe, ohne den Zusammenhang zu erläutern. Es ist keine Antwort auf einen deiner Beiträge, sondern lediglich ein Einwurf, der eine kleine Modifikation der Leibnizschen Reihe vorstellt. Der jeweilige Korrektursummand erhöht die Konvergenzgeschwindigkeit. Die Intervalllängen ziehen sich mit zusammen.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
Zitat:
Original von IfindU
Du könntest natürlich mehr Bits reservieren, um noch mehr Stellen zu bekommen.

Wie soll das gehen?


Für C/C++ gibt es z.B. Bignum-Library, bei der du die Mantissen-Länge selbst spezifizieren kannst. Je nachdem welche Sprache du verwendest, wird es sicher ähnliche Implementationen geben.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Eulersche Reihentransformation, noch nie von gehört. Mal sehen. Auf der rechten Seite ist







Hierbei ist der Translationsoperator und der Nulleinsetzungsoperator.

Sei Es soll nun gelten



Man formt um zu



mit Nun ist und auf der anderen Seite die Teleskopsumme



Ja, erscheint mir plausibel.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Beschränken wir uns zunächst auf absolut konvergente Folgen. Diese spannen den Folgenraum auf, ein Banachraum mit



Nun wird da eine neumannsche Reihe zum linearen Operator gebildet. Ein hinreichendes Kriterium für die Konvergenz der neumannschen Reihe ist Aufgrund der Dreiecksungleichung gilt



Die Operatornorm ist allgemein definiert durch



Für den Translationsoperator bekommt man



Für gilt



Nun kann sein oder beliebig groß werden, womit man erhält. Die Operatornorm für den Identitätsoperator ist kaum einer ausdrücklichen Erwähnung wert.

Insgesamt erhält man



Die Abschätzung der Prämisse eines hinreichenden Kriteriums ist mal wieder auf schmalem Grat ungenügend.
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