Multiplikative Gruppe zeigen, die II.

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Malcang Auf diesen Beitrag antworten »
Multiplikative Gruppe zeigen, die II.
Hallo ihr lieben,

ich hatte vor einiger Zeit diesen Thread eröffnet und mit eurer Hilfe das zu zeigende auch verstehen können.

Da mein Prof dazu nun eine weitreichende Anmerkung gemacht hat, möchte ich dies nochmal etwas anders aufzäumen und euch um Rat fragen.

Zu zeigen war das Folgende:
[attach]54074[/attach]

Mein Prof sagt nun -und das verstehe ich auch- das die Menge auf diese Art nicht definiert werden kann. Denn ich betrachte ja Ausdrücke der Form "Restklasse mal reelle Zahl", und das ist ohne weiteres nicht definiert.
Also hat er mir vorgeschlagen, die Menge zu definieren als
, wobei eine Nichtquadratzahl ist und mich damit vorzuarbeiten.
Der erste Schritt wäre nun also zu zeigen, dass die Elemente eindeutig bestimmt sind und das bekomme ich auch hin.
Aber wie würde ich denn danach vorgehen? Da setzt es bei mir leider aus. Ich muss ja den Übergang zu "mod p" schaffen verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht, wo das Problem ist? Wenn partout daran rumgemäkelt wird " reelle Zahl, so geht das nicht", dann betrachtet man halt



mit Gruppenoperation , und schon ist der Einwand hinfällig.
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Abend HAL 9000,

wieder mal ein sehr interessanter Einwand, danke dafür.
Der Kritikpunkt meines Profs war in der Tat, dass die Multiplikation einer Restklasse (bzw. des entsprechenden Vertreters) mit einer irrationalen Zahl nicht definiert ist.
Ich bin auch der Meinung, dass ich das nachvollziehe, denn was kommt denn da als Ergebnis heraus? Die zuerst definierte Menge ist ja keine Teilmenge der reellen Zahlen.

Die von dir angesprochene Gruppenoperation ist ja das was ich erhalte, wenn ich zwei Elemente "meiner" Menge ausmultipliziere.
Das ist mal eine schöne Erleuchtung für mich an dieser Stelle. Ich hatte mich bei "meiner" Definition nämlich relativ starr an der Konstruktion der komplexen Zahlen entlanggehangelt, nun sehe ich das in einem anderen Licht.
Ich nehme "deine" Gruppenoperation, weise damit die Gruppenaxiome nach, erhalte eine multiplikative Gruppe. Wunderbar.

Ich bin beim ersten Drüberlesen und Überlegen der Meinung zu wissen, wie ich das nun aufbauen könnte.
Das würde ich gerne mal vernünftig zu Papier bringen und das hier einmal präsentieren. Freue mich entsprechend auf jede Art von Rückmeldung.

Ich danke dir sehr und wünsche einen schönen Abend Freude

P.S: Nachträglich noch alles Gute zur Counterfeier Prost
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nachdem wir ausgiebig über quadratische Körpererweiterungen von gesprochen haben, die durch Adjunktion einer nichtrationalen Quadratwurzel entstehen, kann man ganz genau dasselbe über machen, d.h. man nimmt einfach ein Element mit zum Grundkoerper hinzu. Algebraisch entspricht das wie immer der Bildung des Faktorrings .

Nachtrag : Kann es sein, dass du letzte Woche versehentlich von "Klassenkoerpertheorie" gesprochen hast obwohl du eigentlich nur "Restklassenkoerper" gemeint hast? Das würde auch erklären, warum du meine harmlosen Anmerkungen über die Zerlegung von Primzahlen in quadratischen Zahlkörpern noch nicht ganz verstanden hast.
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo auch, Elvis,

letzte Woche ging es in der Tat um Klassenkörper. Das betraf die Veranstaltung "Globale Klassenkörpertheorie".
Dieser Thread hier betrifft eine Ausarbeitung in der algorithmischen Zahlentheorie.
Die Querverbindungen die sich jeweils auftun sind unheimlich faszinierend, aber für mich auch sehr einschüchternd, manches Mal.
Aber wo wir schon dabei sind: Ist das heutige Studium der Mathematik mit "eurem" Studium vergleichbar? Waren die Veranstaltungen ebenfalls so kategorisierst in Algebra, Analysis, Zahlentheorie und co. ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das war auch so. Allerdings ging nach dem Vordiplom ein ausführliches Studium der Algebra (mit Schwerpunkt Galoistheorie und Körpertheorie) voraus, bevor wir uns intensiv mit Zahlentheorie beschäftigen konnten.
Die Faszination der Zahlentheorie besteht m.E. gerade darin, dass man viele mathematische Theorien braucht, bevor man zu wesentlichen Ergebnissen kommt. Algebra, Funktionentheorie, Geometrie, Algorithmen arbeiten zusammen um riesige Theoriegebaeude zu errichten, damit wir am Ende kinderleichte Fragen (manchmal) beantworten können.
 
 
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Tag zusammen,

ich habe nun folgendes vorzutragen:
Zitat:
Satz: Sei p eine Primzahl, für die 3 quadratischer Nichtrest ist. Dann ist die Menge mit der Gruppenoperation eine kommutative Gruppe und es gilt


Beweis: Nachrechnen der Gruppenaxiome.
Bemerkung:
Für gilt , denn sonst würde für ebenfalls gelten. Falls gill, so ist . Da erhält man einen Widerspruch zur Voraussetzung, dass 3 quadratischer Nichtrest ist.

1,2) Kommutativität und Assoziativität erhält man durch Nachrechnen
3) Es ist und . Es existiert also ein Linksneutrales.

4)Es ist . Damit ist und durch Nachrechnen folgt
.
Es existieren die Linksinversen.

5)Seien . Dann existieren . Nehme an es würde gelten. Dann folgt . Damit ist die Menge abgeschlossen unter der genannten Gruppenoperation.

Insgesamt folgt die Gruppeneigenschaft der Menge .

Es gibt jeweils Möglichkeiten, die Variablen zu belegen, wobei (0,0) ausgeschlossen ist. Damit gibt es Möglichkeiten, ein Tupel zu bilden.


Was sagt ihr dazu?
Meine Frage ist: Müsste ich für den Schluss noch zeigen, dass die Elemente eindeutig bestimmt sind, um auf die Kardinalität schließen zu können?

Danke an dieser Stelle für eure Hilfe!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Als Plan ist das brauchbar, aber bei 3) hast du einen Schreibfehler und bei 4) ist nicht in , also das inverse auch nicht. Vielmehr ist in invertierbar, und damit kommt man weiter. Die Abgeschlossenheit der Operation würde ich vor den Gruppeneigenschaften zeigen, am Schluß sieht das überraschend unmotiviert aus. Die Elemente sind paarweise verschieden, das liegt an der Definition der Gleichheit von Paaren.
(Meinen Ansatz halte ich für eleganter, aber dafür muss man eben wissen, wie man allgemeine Körpererweiterungen konstruiert (das lernt man bei Leopold Kronecker). Das hat dann aber auch den Vorteil, dass dein Professor (oder du ?) nicht auf die absurde Idee kommen kann, dass in diesem Beispiel eine reelle Zahl sein könnte.)
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Als Plan ist das brauchbar, aber bei 3) hast du einen Schreibfehler

Zitat:
Original von Elvis
und bei 4) ist nicht in , also das inverse auch nicht.

Eingesehen, korrigiert und markiert.

Zitat:
Original von Elvis
Die Abgeschlossenheit der Operation würde ich vor den Gruppeneigenschaften zeigen, am Schluß sieht das überraschend unmotiviert aus.


Das dachte ich in meiner Planung eigentlich auch. Aber ich benötige ja zumindest die Existenz der Inversen. Oder?
Zitat:
Original von Elvis
Die Elemente sind paarweise verschieden, das liegt an der Definition der Gleichheit von Paaren.

Dann würde ich das auch damit begründen und für mich als erledigt betrachten wollen.

Zitat:
Original von Elvis
(Meinen Ansatz halte ich für eleganter, aber dafür muss man eben wissen, wie man allgemeine Körpererweiterungen konstruiert (das lernt man bei Leopold Kronecker). Das hat dann aber auch den Vorteil, dass dein Professor (oder du ?) nicht auf die absurde Idee kommen kann, dass in diesem Beispiel eine reelle Zahl sein könnte.)


Eleganter ist dein Ansatz, ohne Frage. Allerdings passt dieser nicht in diese Veranstaltung, da er hier nicht behandelt wurde. Aber ich nehme mir das Wissen in die Globale Klassenkörpertheorie mit Augenzwinkern
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es bisher auf diese Weise geschrieben.
[attach]54075[/attach]
[attach]54076[/attach]
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Ich verstehe nicht, wo das Problem ist? Wenn partout daran rumgemäkelt wird " reelle Zahl, so geht das nicht", dann betrachtet man halt



mit Gruppenoperation , und schon ist der Einwand hinfällig.


Hallo HAL 9000,

habe noch eine Frage dazu: Im weiteren Verlauf (Wird der Beweis des Lucas-Lehmer-Testes) nutze ich den Ausdruck
.
Aber der modulo Operator ist ja ohne weiteres nicht für reelle Werte definiert. Außerdem kann ich ja nun das Element nicht mehr mit identifizieren.
Wie komme ich aus dieser Sache passend raus?

Meine Idee wäre es, den Begriff der Kongruenz modulo M zu verallgemeinern, etwa folgendermaßen:
Seien und sei . Dann gelte
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »





hat hier nichts mit reellen zahlen zu tun, du musst entweder in (Paare von Restklassen) oder in (d.h. rechnen.

Dein Ansatz war also schon richtig, die mod-Funktion kann sich nur auf die Erzeuger der Restklassen mod p beziehen.
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