Doppelreihe ändert sich bei Vertauschung

01.12.2021, 11:00

abc007

Doppelreihe ändert sich bei Vertauschung

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich bin gerade maximal am Verzweifeln?. Wir sollen für alle (n,k) in {0,1,2,3,?}^2 eine Vorschrift a_n,k finden, sodass für jedes n die Reihe Summe von k=0 bis unendlich a_n,k konvergiert und die Doppelreihe Summe n=0 bis Unendlich Summe k=0 bis unendlich a n,k konvergiert, aber die Vertauschte Doppelreihe mit erst k=0 ? und dann n=0? divergiert.

Meine Ideen:
Ich komme einfach nicht drauf, auf jeden Fall darf Anke nicht absolut konvergent sein, aber die Reihe von k =0 bis unendlich von ank muss ja eine Nullfolge sein, sonst ist die Doppelreihe nicht konvergent. Ich verstehe auch nicht ganz warum sich etwas ändern sollte, wenn ich die Summation vertausche. Bei meinen Beispielen kommt immer dasselbe raus, entweder konvergieren sie beide oder sie divergieren beide, aber dass die eine Doppelreihe konvergiert und die Vertauschung nicht, habe ich nicht hinbekommen nach 3 Stunden überlegen. Ich finde es schon schwierig eine konvergente Doppelreihe zu finden.

Die Fragezeichen sollen übrigens drei Punkte darstellen.

Zwei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen

01.12.2021, 12:49

HAL 9000

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Zitat:

Wir sollen für alle $\begin{eqnarray*} (n,k)\in \{0,1,2,3,\ldots\}^2 \end{eqnarray*}$ eine Vorschrift $\begin{eqnarray*} a_{n,k} \end{eqnarray*}$ finden, so dass für jedes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} a_{n,k} \end{eqnarray*}$ konvergiert und die Doppelreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} a_{n,k} \end{eqnarray*}$ konvergiert, aber die vertauschte Doppelreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty} a_{n,k} \end{eqnarray*}$ divergiert.

Zur Lösung: Offenbar muss es sich um eine Reihe mit unendlich vielen positiven wie negativen Gliedern handeln, denn andernfalls folgt aus der Konvergenz auch sofort absolute Konvergenz und damit beliebige Umordenbarkeit - was wir hier aber nun gerade nicht haben wollen.

Wählt man beispielsweise

$\begin{eqnarray*} a_{n,k} = \begin{cases} n &\;\mbox{für}\;k=n\\ -n &\;\mbox{für}\;k=n+1\\ 0 &\;\mbox{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ ,

dann gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} a_{n,k} = a_{n,n} + a_{n,n+1} = n + (-n) = 0 \end{eqnarray*}$ und damit auch $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} a_{n,k} = 0 \end{eqnarray*}$ . Andererseits bekommen wir $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n,k} = a_{k-1,k} + a_{k,k} = -(k-1) + k = 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\geq 1 \end{eqnarray*}$ und damit ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty} a_{n,k} \end{eqnarray*}$ divergent.

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