Basis bestimmen |
02.12.2021, 21:26 | Hannoveraner | Auf diesen Beitrag antworten » |
Basis bestimmen V1 = ( 1,1,1,1) V2= (1,0,0,1) V3= (1,0,1,0) V4= (1,1,2,0) Gegeben sowie U1 := { (x1,x2,x3,x4) | x1 +x3 = 0 } ? von R^4 a) Bestimmen Sie eine Basis von U1 und U2 := span(v1, v2, v3, v4). (b) Bestimmen Sie eine Basis von U1 ? U2. (c) Bestimmen Sie eine Basis von U1 + U2. (c) Bestimmen Sie eine Basis von U1 + U2. Meine Ideen: Habe leider keine Ideen. |
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02.12.2021, 21:42 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Zu . In der Gleichung kannst du drei Parameter frei wählen, zunächst Damit die obige Gleichung gilt, kannst du einen weiteren Parameter wählen, zum Beispiel . Jetzt liegt allerdings durch die Gleichung fest: , also . Alles zusammen lassen sich die Lösungen der Gleichung folgendermaßen beschreiben: Jetzt trenne das nach Parametern geordnet auf: Fülle dazu die Sterne mit konstanten Werten aus, so daß sich . Dann kannst du die Basis von ablesen. |
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02.12.2021, 21:58 | Hannoveraner | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke auf jeden Fall für deine Antwort. Hab noch eine Frage: da wo der Sterne gesetzt hast , hab ich die Zahlen bei der ersten Klammer (0 1 0 0 ) (0 0 0 1) und dritte Klammer. (-1 0 1 0) gesetzt wäre es richtig ? |
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02.12.2021, 22:08 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, das ist richtig. Und diese drei Vektoren bilden eine Basis von . Bei könntest du so vorgehen. Gemäß Definition von wird von erzeugt. Sind nun diese Vektoren linear unabhängig, so bilden sie eine Basis. Um eine Basis zu finden, würde ich unten anfangen. ist ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, also linear unabhängig. ist offenbar kein Vielfaches von , also sind linear unabhängig. Jetzt überprüfe, ob sich durch und ausdrücken läßt: Falls ja, kannst du weglassen, er wäre überflüssig, um zu erzeugen. Falls nein, sind linear unabhängig. Dann mußt du ein letztes Mal schauen, ob sich durch ausdrücken läßt. |
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02.12.2021, 23:17 | Hannoveraner | Auf diesen Beitrag antworten » |
sofern hätte ich die basen (0 , 1, 0, 1) und (-1,1,1,1) raus |
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