Volumen mit Ebene und Eckpunkten bestimmen

03.12.2021, 01:15

Neal21

Volumen mit Ebene und Eckpunkten bestimmen

Meine Frage:
Hallo ich mache gerade eine Übungsaufgabe und wollte mal hier eine Verständnisfrage klären. Ich will das Volumen berechnen. Dazu habe ich die Gleichung einer Ebene z=2x+y+1, die oberhalb des Dreiecks mit den Eckpunkte (1,1) (5,3) und (5,5).

Meine Ideen:
Das Problem wobei ich nicht weiterkomme ist, dass ich nicht weiß von was für einen Körper gesprochen wird. mit der Beschreibung soll das ein Prisma darstellen und die Ebene soll gewissermassen mit der Spitze verbunden sein. Es wäre nett wenn mir jemand erklären kann wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll

03.12.2021, 10:08

hawe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Volumen mit Ebene und Eckpunkten bestimmen
Hochschulmathematik » Analysis?
du wärst gut beraten die aufgabe im Originaltext einzustellen, so wird das nix.

03.12.2021, 10:42

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Neal21
dass ich nicht weiß von was für einen Körper gesprochen wird.

Da sind wir schon zwei.

Zitat:

Original von Neal21
mit der Beschreibung soll das ein Prisma darstellen und die Ebene soll gewissermassen mit der Spitze verbunden sein.

Von der Spitze eines Prismas habe ich noch nie gehört. Sicher, dass du nicht stattdessen eine Pyramide meinst?

Da muss ich hawe voll zustimmen: Der Originaltext muss her, ansonsten endet das hier nur in sinnloser Rumraterei und -pfuscherei.

03.12.2021, 16:21

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine bloße Vermutung. Gesucht ist das Volumen des Körpers, der sich senkrecht über dem Dreieck der $\begin{align*} xy \end{align*}$ -Ebene bis zur Ebene $\begin{align*} z = 2x+y+1 \end{align*}$ aufspannt. Ich weiß nicht, ob dieser Körper einen Namen besitzt. Er ist wohl so etwas wie ein "abgeschrägtes Prisma".

03.12.2021, 20:29

klauss

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Volumen mit Ebene und Eckpunkten bestimmen
Gegeben ist eine Ebene im Raum, aber die Eckpunkte des Dreiecks haben nur 2 Koordinaten?
Wenn das Dreieck in der xy-Ebene liegt mit 3. Komponente immer 0, dann sollte das auch gesagt werden.
Ich habe (seit heute Nacht ...) den Verdacht, dass die Aufgabe in die Analysis eingestellt wurde, weil es nicht klassisch um Geometrie geht, sondern um Anwendung von Integralrechnung.
Wenn es sich also um den von Leopold erkannten Körper handelt, hilft ein Bild.

[attach]54088[/attach]

Wenn man dann noch das Grundflächendreieck in senkrechter Draufsicht betrachtet, bietet sich eine Volumenberechnung der Form
$\begin{eqnarray*} V=\int_{a}^{b} \int_{g(x)}^{h(x)} \! f(x,y) \, dy dx \end{eqnarray*}$
an.

Wie der Körper genau heißen könnte, ist eher irrelevant.

03.12.2021, 22:03

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich vermute auch, daß das Volumen des abgeschrägten Prismas mittels Integralrechnung bestimmt werden soll. Es geht aber auch elementar.

Über den Dreieckspunkten

$\begin{align*} A = \left( 1,1 (,0) \right) \, , \ \ B = \left( 5,3 (,0) \right) \, , \ \ C = \left( 5,5 (,0) \right) \end{align*}$

liegen mittels $\begin{align*} z = 2x+y+z \end{align*}$ die Punkte

$\begin{align*} D = \left( 1,1,4 \right) \, , \ \ E = \left( 5,3,14 \right) \, , \ \ F = \left( 5,5,16 \right) \end{align*}$

Der Körper kann in zwei Pyramiden zerlegt werden:

Pyramide 1

Grundfläche ist das rechtwinklige Trapez $\begin{align*} BCFE \end{align*}$ . Es hat den Inhalt $\begin{align*} \frac{1}{2} \cdot (14+16) \cdot 2 = 30 \end{align*}$ . Die Spitze der Pyramide ist $\begin{align*} D \end{align*}$ . Ihr Abstand von der Grundfläche ist derselbe wie der Abstand des Punktes $\begin{align*} A \end{align*}$ von der Geraden $\begin{align*} BC \end{align*}$ , also 4. Diese Pyramide hat daher das Volumen

$\begin{align*} V_1 = \frac{1}{3} \cdot 30 \cdot 4 = 40 \end{align*}$

Pyramide 2

Grundfläche ist das Dreieck $\begin{align*} ABC \end{align*}$ vom Inhalt $\begin{align*} \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4 \end{align*}$ . Die Spitze der Pyramide ist $\begin{align*} D \end{align*}$ . Dieser Punkt hat von der Grundfläche den Abstand 4. Das Volumen dieser Pyramide ist daher

$\begin{align*} V_2 = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 4 = \frac{16}{3} \end{align*}$

Gesamtvolumen

Das Gesamtvolumen des Körpers beträgt folglich

$\begin{align*} V = V_1 + V_2 = 40 + \frac{16}{3} = \frac{336}{3} \end{align*}$

EDIT

@ klauss (Folgebeitrag)
Ja, $\begin{align*} \frac{136}{3} \end{align*}$ ist besser. Augenzwinkern

03.12.2021, 22:22

klauss

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
$\begin{align*} V = V_1 + V_2 = 40 + \frac{16}{3} = \frac{336}{3} \end{align*}$

Ich stutzte gerade, weil Du "336/3" nicht gekürzt hast, aber es muß ja heißen "136/3.

Neue Frage »

Antworten »

Volumen mit Ebene und Eckpunkten bestimmen

Verwandte Themen