Dimesion der Schnittmenge von zwei Untervektorräumen

03.12.2021, 18:49	Daveidix	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimesion der Schnittmenge von zwei Untervektorräumen Meine Frage: Sei V ein Vektorraum und U1, U2 ? V Untervektorr ?aume von V . Wenn dimV = 3 und dimU1 = dimU2 = 2, und U1 ?= U2 zeigen Sie dass dim(U1 ? U2) = 1. Meine Ideen: dim(U1 + U2) ? 3, da es ein Untervektorraum von V ist. Doch wie kann ich beweisen, dass dim(U1 ? U2) ? 1 ist, wenn U1 /= U2. Wie funktioniert der Beweis dazu?
03.12.2021, 18:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweise $\begin{eqnarray} dim(U1+U2)=3 \end{eqnarray}$ und benutze den Satz: $\begin{eqnarray} dim(U1+U2)=dim(U1)+dim(U2)-dim(U1\cap U2) \end{eqnarray}$ . Wenn der Satz noch nicht bekannt ist, beweise ihn.
03.12.2021, 20:14	Daveidix	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie genau kann ich beweisen, dass dim(U1 + U3) = 3
03.12.2021, 22:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du es nicht kannst, dann mach ich das. U1 und U2 sind verschieden, also gibt es einen Vektor u in U2, der nicht in U1 liegt. Nun ist U1 ein echter Untervektorraum von U1+<u>, und U1+<u> ein Untervektorraum von U1+U2. Wegen dim U1=2 muss 2 = dim U1 < dim (U1+<u>) = 3 = dim (U1+U2) = dim V sein. Den Satz beweist man, indem man eine Basis von $\begin{eqnarray} U1\cap U2 \end{eqnarray}$ zu je einer Basis von U1 und U2 ergänzt (siehe "Basisergänzungssatz") und die jeweiligen Basisvektoren der drei Basen zählt.

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