Nebenklassen Untergruppen

04.12.2021, 13:36	timowevel	Auf diesen Beitrag antworten »
Nebenklassen Untergruppen Meine Frage: Hallo! Heute in der Vorlesung wurden Nebenklassen besprochen. Als Beispiel nannte der Prof eine Untergruppe (siehe Anhang) und bildete davon die links- und rechtsnebenklasse. Ich verstehe aber noch nicht so ganz wie er darauf gekommen ist. Meine Ideen: In H ist einmal die Identität und (12), mit einer Grundoperation/Verknüpfung und das Element a (23). Als erstes wird (23) mit der id verknüpft, wobei man natürlich (23) erhält. Jetzt verknüpft er (23) mit (12). Wenn ich z.B. in einer Matrix mit (123,123) diese Operation anwende, komme ich erst durch (12) auf (123,213) und dann mit (23) auf (123,312), also (312) und nicht (132). Irgendwo mache ich einen Fehler, ich weiß leider nicht wo.
04.12.2021, 14:04	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Problem ist, daß du zwei verschiedene Weisen, Permutationen zu beschreiben, durcheinanderwirfst. Zunächst geben wir zu jeder möglichen Eingabe der Permutation $\begin{align} p \end{align}$ ihre Ausgabe an. $\begin{align} p: \ \ 1 \mapsto 3 \, , \ 2 \mapsto 1 \, , \ 3 \mapsto 2 \end{align}$ Man kann das in Form einer Wertetabelle, wie man das von Funktionen aus der Schule kennt, notieren: $\begin{align} \begin{matrix} x & 1 & 2 & 3 \\ p(x) & 3 & 1 & 2 \end{matrix} \end{align}$ Und indem man nur das Wesentliche notiert, in Matrixschreibweise: $\begin{align} p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{align}$ Die Matrix enthält alle Informationen über die Wirkungsweise von $\begin{align} p \end{align}$ und darf daher als Bezeichnung für $\begin{align} p \end{align}$ selbst dienen. Häufig ist es aber günstiger, man notiert Permutationen in Zykelschreibweise: $\begin{align} p = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \end{align}$ Zykel steht für kreisförmig: $\begin{align} 1 \mapsto 3 \mapsto 2 \end{align}$ Du mußt dir diese lineare Notation zu einem Kreis zusammengebunden denken: durch $\begin{align} p \end{align}$ kommt nach der 1 die 3, nach der 3 die 2, nach der 2 die 1, nach der 1 die 3, nach der 3 die 2, nach der 2 die 1 und so weiter. $\begin{align} p(1) = 3, \ p(3) = 2, \ p(2) = 1 \end{align}$ Es gilt daher $\begin{align} p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \end{align}$
04.12.2021, 14:14	timowevel	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, habe die untere Zeile der Matrix mit der Zykelschreibweise durcheinandergeworfen, habs jetzt grade realisiert xD Ich danke dir vielmals für deine Ausführung, hat mir sehr geholfen, danke!

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