Nichtkonvergente Cauchy-Folge

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Seba Auf diesen Beitrag antworten »
Nichtkonvergente Cauchy-Folge
Hallo alle miteinander,

ich habe eine Aufgabe zu einem metrischen Raum (X,d) mit und . Nun ist die Frage, ob dieser metrsiche Raum (X,d) vollständig ist. Meine Überlegungen dazu waren, dass ein metrischer Raum vollständig ist, wenn jede Cauchy Folge in X konvergiert. Wenn ich nun zeigen möchte, dass der metrische Raum nicht vollständig ist, reicht es also eine Cauchy Folge zu finden, die nicht konvergiert in (X,d). Es wurde bereits gezeigt, dass die Folge eine Cauchy Folge bezüglich der Metrik d ist. Kann ich nun als Beispiel für eine in X nicht konvergente Cauchy Folge, die Folge verwenden, da diese auch eine Cauchy Folge bezüglich d ist, aber nicht in X konvergiert? Ich bin mir nicht sicher, ob dies so funktioniert.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht konvergente Cauchy Folge
Zitat:
Original von Seba
Es wurde bereits gezeigt, dass die Folge eine Cauchy Folge bezüglich der Metrik d ist.


Und was ist deiner Ansicht nach ihr Grenzwert?

Zitat:
Original von Seba
Kann ich nun als Beispiel für eine in X nicht konvergente Cauchy Folge, die Folge verwenden


Diese Folge liegt gar nicht in .
Seba Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht konvergente Cauchy Folge
Vielen Dank für die Antwort, manchmal sieht man echt den Wald vor Bäumen nicht,
die Folge hat in X keinen Grenzwert und ist somit die gesuchte, nicht konvergente Cauchy Folge in (X,d) Hammer
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht konvergente Cauchy Folge
Zitat:
Original von Seba
die Folge hat in X keinen Grenzwert


Ist das nur "so ein Gefühl"? Oder kannst du das mit Tatsachen untermauern?
Seba Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht konvergente Cauchy Folge
Ich würde sagen: also konvergiert die Folge in X für uneigentlich gegen (was in unserer Menge X enthalten ist). Die Definition uneigentlicher Konvergenz impliziert, dass die Folge keinen Grenzwert besitzt, sondern bestimmt divergent ist.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Argumentation überzeugt mich nicht (zum Beispiel liegt keineswegs in ). Ich kann mich des Gefühls nicht erwehren, daß du in der euklidischen Metrik denkst. Du mußt aber in der Metrik denken. Die legt hier fest, was Nähe bedeutet. Wenn ich jetzt einmal ganz frech behaupte:



wie würdest du mich widerlegen?
 
 
Seba Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man davon ausgeht, dass dann gilt laut Definition der Konvergenz, dass für jedes . Das heißt mit unserer Metrik d: . Nach Grenzwertsätzen folgt jedoch: . Somit kann nicht kleiner als werden, weshalb die Aussage über Konvergenz nicht für jedes gilt. Somit kann 10 nicht der Grenzwert sein.
Der kann nur für den Wert 0 annehmen, weshalb die Folge gegen unendlich konvergiert und somit divergiert
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Seba
Nach Grenzwertsätzen folgt jedoch: . Somit kann nicht kleiner als werden, weshalb die Aussage über Konvergenz nicht für jedes gilt.


Das verstehe ich nicht. Mit dem Limes-Zeichen beziehst du dich vermutlich auf die euklidische Metrik, also den gewöhnlichen Limesbegriff. Aber was es bedeuten soll, daß nicht kleiner als irgendwas werden kann, verstehe ich nicht.

Um nachzuweisen, daß 10 der Grenzwert ist, wäre folgendes zu überprüfen:



Wenn also 10 nicht der Grenzwert ist, muß folgendes nachgewiesen werden:



Anders gesagt: Du mußt ein konkretes angeben, so daß für unendliche viele gilt: . Dann ist 10 nicht der Grenzwert.

Ergänzung
Du könntest höchstens sagen, daß bei einer bezüglich gegen 10 konvergenten Folge im Sinne der euklidischen Metrik eine Nullfolge sein muß. Das ist es hier natürlich nicht.
Seba Auf diesen Beitrag antworten »

Durch den Grenzwert von (welcher ist), kann der Abstand bzw. im Sinne der gegebenen Folge gleich nicht kleiner als werden, da X die Menge der positiven reellen Zahlen ist. Das heißt für alle (also um es explizit zu machen, z.B. ) gilt für unendlich viele n. Also ja ich hab sozusagen den Abstand zwischen einem beliebigen Folgenglied und dem Grenzwert in der gegeben Metrik d wiederum als Folge betrachtet und davon den Grenzwert bestimmt.
Bzw. anders formuliert: und daraus folgt für beliebig große n :
Kann das so funktionieren?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Seba
kann der Abstand bzw. im Sinne der gegebenen Folge gleich nicht kleiner als werden


,

um einmal drei Beispiele zu nennen.

Deine Argumentation enthält richtige Gesichtspunkte, an anderer Stelle aber offensichtlich Falsches. So wirkt das insgesamt diffus. Du bringst die Sache nicht auf den Punkt.

Es genügt, ein einziges zu benennen, so daß für unendlich viele gilt: . Ich nehme einmal



Die Ungleichung



kann äquivalent umgeformt werden zu



Für ist erfüllt, falls gilt (nicht weiter von Interesse, das sind ja nur endlich viele ).

Für kann man weiter äquivalent umformen:



Und das sind unendlich viele . Für alle diese gilt . Damit ist 10 nicht der Grenzwert der Folge im metrischen Raum .

Und in ähnlicher Weise kann man zeigen, daß auch keine andere Zahl in als 10 Grenzwert sein kann. Damit ist eine nicht konvergente Cauchy-Folge in .

Immer wieder hast du in deinen Beiträgen mit dem Element gearbeitet. Gemäß Vorgabe für liegt das aber gar nicht in . Daß man durch Hinzufügung eines Elementes erweitern kann: , so daß gegen konvergiert, steht auf einem andern Blatt.
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