Gleichungssystem

04.12.2021, 21:49

Heinzchenw

Gleichungssystem

Meine Frage:
Wie kann ich nachweisen, dass folgendes Gleichungssystem, abgesehen von den 3 Lösungen bei denen gilt x=y=z, keine weiteren Lösungen besitzt: $\begin{eqnarray*} x^{3}=2y-1 \\<br /> y^{3}=2z-1 \\<br /> x^{3}=2x-1 \\ \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
?

04.12.2021, 22:01

Elvis

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Die rechten Seiten der 1. und 3. Gleichung sind gleich, also x=y. Also y^3=x^3, damit sind alle linken Seiten gleich, also x=y=z. (Wenn ich mich nicht irre.)

04.12.2021, 22:35

klauss

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RE: Gleichungssystem
Sollte die 3. Gleichung etwa eher lauten
$\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{z}^{3}=2x-1 \end{eqnarray*}$ ?

Edit:
Bin inzwischen geneigt, die Frage zurückzuziehen, da das ursprüngliche
$\begin{eqnarray*} x^{3}=2x-1 \end{eqnarray*}$ die Aussage
"3 Lösungen bei denen gilt x=y=z"
erklärt.

05.12.2021, 10:22

Heinzchenw

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Dein erster Impuls war richtig, war wohl schon zu spät... $\begin{eqnarray*} x^{3}=2y-1 \\<br /> y^{3}=2z-1 \\<br /> Z^{3}=2x-1 \\ \end{eqnarray*}$
ist das System von dem ich rede.

05.12.2021, 13:05

Finn_

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Mit der Umgeformten Gleichung $\begin{eqnarray*} z = \frac{y^3+1}{2} \end{eqnarray*}$ eliminiert man $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ aus dem System und erhält

$\begin{eqnarray*} x^3 = 2y-1, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{y^3+1}{2}\right)^3 = 2x-1. \end{eqnarray*}$

Nun verfährt man bezüglich $\begin{eqnarray*} y = \frac{x^3+1}{2} \end{eqnarray*}$ in gleicher Weise und erhält

$\begin{eqnarray*} 0 = \left(\frac{(x^3+1)^3}{16}+\frac{1}{2}\right)^3 - 2x + 1. \end{eqnarray*}$

Am ursprünglichen System erkennt man die Lösung $\begin{eqnarray*} (1, 1, 1). \end{eqnarray*}$ Demzufolge muss $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ eine Lösung der Gleichung sein. Das CAS (»Raten«) liefert

$\begin{eqnarray*} x=1,\quad x=-{{\sqrt{5}+1}\over{2}},\quad x={{\sqrt{5}-1}\over{2}} \end{eqnarray*}$

und ein Polynom (aus der Polynomdivision) mit einer Koeffizientenfolge ohne Vorzeichenwechsel. Demzufolge existieren laut der descartesschen Regel keine weiteren positiven Lösungen. Ein Plot

code:
1:	https://cas-de.github.io/plot.htm?((x%C2%B3+1)%C2%B3/16+1/2)%C2%B3-2x+1

zeigt zumindest numerisch, dass keine weiteren Lösungen existieren. Zur Sicherheit noch ein Plot mit der ersten Ableitung:

code:
1:	https://cas-de.github.io/plot.htm?f(x),%20f%27(x);%20f(x):=((x%C2%B3+1)%C2%B3/16+1/2)%C2%B3-2x+1

06.12.2021, 09:11

HAL 9000

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Andere Idee: Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(t) = \frac{t^3+1}{2} \end{eqnarray*}$ ist streng monoton wachsend auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Angenommen, es existiert eine Lösung mit $\begin{eqnarray*} x<y \end{eqnarray*}$ . Dann folgt daraus sofort $\begin{eqnarray*} f(x)<f(y) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} y<z \end{eqnarray*}$ , und daraus wiederum $\begin{eqnarray*} f(y)<f(z) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} z<x \end{eqnarray*}$ , insgesamt also $\begin{eqnarray*} x<y<z<x \end{eqnarray*}$ , Widerspruch. Auf dieselbe Weise führt $\begin{eqnarray*} x>y \end{eqnarray*}$ zum Widerspruch $\begin{eqnarray*} x>y>z>x \end{eqnarray*}$ .

Es bleiben also allenfalls noch die Lösungen $\begin{eqnarray*} x=y=z \end{eqnarray*}$ , was laut erster Gleichung $\begin{eqnarray*} 0 = x^3-2x+1 = (x-1)(x^2+x-1) \end{eqnarray*}$ zu den von Finn genannten drei reellen Lösungen führt.

P.S.: Der Lösungsweg taugt natürlich nur für reelle Lösungen, was ich einfach mal wg. "Schulmathematik" angenommen habe.

Sollte es doch um die komplexen Lösungen gehen, dann wird man wohl (fürchte ich) um die von Finn genannte algebraische Gleichung 27.Grades nicht herumkommen, mit der entsprechenden Lösungsvielfalt.

[attach]54101[/attach]

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