Prüfen mithilfe der Gruppenaxiome

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Julee Auf diesen Beitrag antworten »
Prüfen mithilfe der Gruppenaxiome
Meine Frage:
Hi smile Die Aufgabenstelung lautet in meiner Aufgabe: Prüfe mithilfe der Gruppenaxiome ob die Menge G bezüglich der Verknüpfung "o" eine Gruppe bildet.
Dazu habe ich noch eine Verknüpfungstabelle bekommen
o b s a
b a b s
s b s a
a s a b
aber wie ist der Vorgang bei der Prüfung oder dem Beweis das es eine/keine Gruppe bildet?

Meine Ideen:
Ich weiß jetzt das ich die fünf Gruppenaxiome prüfen soll
1) Abgeschlossenheit
2) Assoziativität
3) neutrales Element
4) Umkehrelement
5) Kommutatiität
aber ich weiß nicht wie das mit der Verknüpfungstabelle zusammenhängt und wie man dann vernünftig prüfen kann, dass es eine Gruppe ist
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist mühsam, anhand der Verknüpfungstabelle die Gruppenaxiome zu überprüfen. Immerhin kannst du schon einmal ablesen, welches der drei Elemente b,s,a als neutrales Element nur in Frage kommt.
Wenn du schon eine Gruppe mit drei Elementen kennst, zu der diese Tafel paßt, bist du am Ziel (Fortgeschrittene erkennen hinter diesem Vorschlag den Isomorphiebegriff).

Daher die Frage: Kennst du schon eine Gruppe mit drei Elementen? Falls ja, so nenne die drei Elemente in b,s,a um, wobei du das neutrale Element der bekannten Gruppe mit dem mutmaßlichen neutralen Element der vorliegenden "Gruppe" bezeichnen solltest. Wenn sich dann bei der Umbenennung die obige Tafel ergibt, dann wird durch diese Tafel eine Gruppe festgelegt.

Falls du diesen Weg nicht einschlagen willst oder kannst, dann mußt du direkt von der Tafel aus die Gruppenaxiome überprüfen. Mühsam ist 2), alles andere ist einigermaßen schnell erledigt.
Julee Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle Antwort smile
ist dann s das neutrale Element? normaerweise steht das ja an erster Stelle neben der Verknüpfung aber:
b und s verknüpft ist b
a und s verknüpft ist a
s und s verknüpft ist s
Ist das richtig oder liege ich damit jetzt total falsch? Hilfe

und ja ich kenne eine weitere Gruppe mit drei Elementen und weiß auch was isomorphie ist Big Laugh
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, s ist das einzige Element, das als neutrales in Frage kommt. Bis auf Isomorphie gibt es genau zwei Gruppen mit drei Elementen, eine davon ist kommutativ, die andere nicht. Falls du die Gruppen kennst, kannst du sie ja "über die vorgegebene Verknüpfungstafel legen", um zu schauen, ob es eine von beiden ist. Dabei weißt du schon, daß es nur mit s als neutralem Element geht.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

2 nichtisomorphe Gruppen der Ordnung 3? Ist das nicht ein bisschen zu viel? Ich kenne nur kommutative Gruppen der Ordnung 3.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
2 nichtisomorphe Gruppen der Ordnung 3? Ist das nicht ein bisschen zu viel? Ich kenne nur kommutative Gruppen der Ordnung 3.


Wenn ich so darüber nachdenke: ich auch. Ich versuche gerade zu verstehen, was da falsch verdrahtet war. Ich vermute, es ging so:



Daß ich da inzwischen schon bei der Ordnung 6 angekommen war, wurde durch die alles überstrahlende 3 verdeckt.
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es recht. Die Frage nach der kleinsten nichtabelschen Gruppe werde ich nie vergessen, denn sie war die erste Frage in meiner mündlichen Algebra-Prüfung und damit die erste Frage überhaupt als Einstieg in meine Diplompruefungen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und ich werde mich gleich auf die Suche nach einer nichtabelschen Gruppe der Ordnung 3 begeben. Sobald ich sie gefunden habe, melde ich mich wieder. Warte einfach so lange!
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