Trigonometrische Gleichung beweisen

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LeFagnard Auf diesen Beitrag antworten »
Trigonometrische Gleichung beweisen
Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich komme mal wieder mit 2 Übungen nicht weiter.
Hier die erste:
(Latex Code wird mit brackets latex nicht mehr übernommen)
Vielleicht mal die Seite matheboard.de/formeleditor.php entsprechend aktualisieren, damit jeder weiß, welche Steuerzeichen benutzt werden müssen.

2\sin(a+b)\cos(a+b)=\sin2a+\sin2b


Meine Ideen:
Und das sind die Schritte, die ich gegangen bin:

.\qquad {\color{DarkGreen} Formeln:}\\
.\qquad {\color{DarkGreen} \sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b} \\
.\qquad {\color{DarkGreen} \cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b} \\
=2[\sin a \cos b+\cos a\sin b][\cos a\cos b-\sin a\sin b]\\
=2[\sin a\cos a\cos^2b-\sin^2a\cos b\sin b+\cos^2a\sin b\cos b-\cos a\sin a\sin^2b ]\\
=2[\sin a\cos a(\cos^2b-\sin^2b)+\sin b\cos b(\cos^2a-\sin^2a)]\\
.\qquad {\color{DarkGreen} Formeln:}\\
.\qquad {\color{DarkGreen} \cos^2x-\sin^2x=\cos2x} \\
.\qquad {\color{DarkGreen} 2\sin x\cos x=\sin2x} \\
=2[\frac{(\sin2a\cos2b)}{2}+\frac{(\sin2b\cos2a)}{2}=\sin2a\cos2b+\sin2b\cos2a

Ich gebe das alles neu ein, sobald ich die Steuerzeichen kenne.

Vielen Dank für die Hilfe.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Die Steuerzeichen sind BBCode "latex" oder kurz "l". Bei der tatsächlichen Identität handelt es sich um die Gleichung



Die vorgelegte Gleichung geht dagegen nicht in allgemeiner Weise auf, sie erzeugt als Bestimmungsgleichung ein Gitter mit Querstreben.
LeFagnard Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Finn_
Die Steuerzeichen sind BBCode "latex" oder kurz "l". Bei der tatsächlichen Identität handelt es sich um die Gleichung



Die vorgelegte Gleichung geht dagegen nicht in allgemeiner Weise auf, sie erzeugt als Bestimmungsgleichung ein Gitter mit Querstreben.


Das verstehe ich leider nicht. Was meinst Du mit "Gitter mit Querstreben".
Laut Mathebuch geht das auf.
Die Gleichung ist:

Möglicherweise bin ich auf einer falschen Fährte mit der Vorgehensweise.

hier nun der Code mit Latex:
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine, die Funktion



besitzt die Nullstellenmenge



Beispiel zu Da ist und mit Das macht



Mit ist und gemeint, wobei und Man erhält

mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Meiner Meinung nach handelt es sich lediglich um eine 'Formel', deren Richtigkeit zu beweisen ist.
Also NICHT um die Lösung einer Gleichung ("beweisen" steht ja auch schon so im Titel).

Der Beweis führt mittels einer kleinen Substitution schnell zum Erfolg:



- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -









Die Formel geht dann über in

; die rechte Seite mittels des 1. Additionstheorems umformen:



Die rechte Seite wird nun ebenfalls zu

mY+
LeFagnard Auf diesen Beitrag antworten »

Oha, auf die Idee eine Substitution zu nutzen, wäre ich nie und nimmer gekommen, da es immer heißt, lösen anhand der trigonometrischen Formeln.
Aber in gewissem Sinne ist es ja doch immer noch so! ;-)

Vielen Dank an alle, die geholfen haben.

Beste Grüße,
Marc
 
 
LeFagnard Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo mYthos,

da war ich etwas vorschnell.
Die Aufgabe ist nicht so wie du sie schreibst.
Richtig (gerade noch einmal nachgelesen):


So wie ich das in Deiner Lösung sehe, ist die Aufgabe wie gestellt nicht lösbar, also ungleich.
Ich werde das so vermerken.

Nochmals vielen Dank.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Substitution verhilft nur zur bequemeren Rechnung.
Anderenfalls kann man auch den direkten Weg gehen, indem man auf den Term der linken Seite die entsprechenden trigonometrischen Formeln loslässt.

Dabei ist dann eben die Rechnung etwas komplizierter.

mY+
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LeFagnard
...
Die Aufgabe ist nicht so wie du sie schreibst.
Richtig (gerade noch einmal nachgelesen):


So wie ich das in Deiner Lösung sehe, ist die Aufgabe wie gestellt nicht lösbar, also ungleich.
Ich werde das so vermerken.

Nochmals vielen Dank.


Wenn beide Winkel (a+b) lauten, dann ist es natürlich anders.
Dann gilt: und dies ist im Allgemeinen nicht gleich

Dieser Beweis ist allerdings ein Einzeiler.
Ich bin jetzt nicht sicher, wie die Angabe wirklich ist. Ich neige eher zu der Annahme eines Angabefehlers und daher zur ersten Version.

mY+
LeFagnard Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmals herzlichen Dank.
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