Anzahl der ganzzahligen Quadrate

Neue Frage »

06.12.2021, 12:37

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Anzahl der ganzzahligen Quadrate

Hallo und frohen Nikolaus euch allen smile

ich hänge aktuell an dieser Aussage:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl oder Null. Im Intervall $\begin{eqnarray*} I = [ 0,m]\cap\mathbb Z \end{eqnarray*}$ gibt es dann genau $\begin{eqnarray*} \lfloor \sqrt{m}\rfloor +1 \end{eqnarray*}$ ganzzahlige Quadrate.

Meine Idee:
Sei $\begin{eqnarray*} Q := \left\{ k^2 | 0\leq k^2\leq m\right\} \end{eqnarray*}$ .
Für alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0\leq l\leq \lfloor\sqrt{m}\rfloor \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} l^2\in Q \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} |Q|\geq \lfloor\sqrt{m}\rfloor + 1 \end{eqnarray*}$ .
Angenommen es existiere ein Element $\begin{eqnarray*} a\in Q, a>\lfloor\sqrt{m}\rfloor \end{eqnarray*}$ .
Falls $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ Quadratzahl ist, gilt $\begin{eqnarray*} a>\sqrt{m} \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} a^2>m \end{eqnarray*}$ , Widerspruch zur Definition der Menge Q.
Falls $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ keine Quadratzahl ist, gilt $\begin{eqnarray*} a\geq\lceil\sqrt{m}\rceil = \sqrt{m}+\epsilon \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} a^2 = (\sqrt{m}+\epsilon)^2 = m+2\sqrt{m}\epsilon + \epsilon^2 > m \end{eqnarray*}$ , Widerspruch.

Ist das so ok?

06.12.2021, 13:04

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst scheint ein Definitionsfehler vorzuliegen: Anscheinend meinst du $\begin{eqnarray*} Q = \left\{ k\in\mathbb{N}_0 \mid k^2\leq m \right\} \end{eqnarray*}$ , ansonsten macht dein $\begin{eqnarray*} a\in Q \end{eqnarray*}$ in Kombination mit $\begin{eqnarray*} a>\lfloor \sqrt{m}\rfloor \end{eqnarray*}$ wenig Sinn, wenn $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ tatsächlich die Menge der Quadratzahlen sein soll.

Hmm, ich weiß nicht, warum du dir dann so einen abbrichst: Es ist $\begin{eqnarray*} x-1 < \lfloor x\rfloor \leq x \end{eqnarray*}$ , das gilt auch für $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{m} \end{eqnarray*}$ . Nun bedeutet $\begin{eqnarray*} a>\left\lfloor \sqrt{m}\right\rfloor \end{eqnarray*}$ für ganzzahlige $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ dann auch

$\begin{eqnarray*} a\geq \left\lfloor \sqrt{m}\right\rfloor+1 > \sqrt{m}-1+1 \end{eqnarray*}$ ,

d.h. $\begin{eqnarray*} a>\sqrt{m} \end{eqnarray*}$ folgt immer, auch wenn $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ keine Quadratzahl ist.

06.12.2021, 13:08

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL,

danke für deine Zeit.
Ja mit dem a hatte ich mich in der Tat vertan. Die Menge Q werde ich nochmal neu definieren und den Beweis mit deinen Anmerkungen führen. Esse gerade zu Mittag, dann aber Augenzwinkern

06.12.2021, 13:55

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Da bin ich nochmal.
Den Beweis würde ich nun so führen:
Sei $\begin{eqnarray*} Q := \left\{ k\in\mathbb N_0 | 0\leq k^2\leq m\right\} \end{eqnarray*}$ .
Für alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0\leq l\leq \lfloor\sqrt{m}\rfloor \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} l^2\in Q \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} |Q|\geq \lfloor\sqrt{m}\rfloor + 1 \end{eqnarray*}$ .
Angenommen es existiere ein Element $\begin{eqnarray*} a\in Q, a>\lfloor\sqrt{m}\rfloor \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} a>\lfloor\sqrt{m}\rfloor \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} a\geq \lfloor\sqrt{m}\rfloor + 1>\sqrt{m} \end{eqnarray*}$ .
Demnach ist $\begin{eqnarray*} a^2>m \end{eqnarray*}$ und daher $\begin{eqnarray*} a\not\in Q \end{eqnarray*}$ .
Die Annahme, dass es mehr als $\begin{eqnarray*} \lfloor\sqrt{m}\rfloor +1 \end{eqnarray*}$ Elemente in Q gibt ist damit falsch.

HAL, ich habe deine Ungleichungskette für die Abrundung implizit benutzt, sie aber nicht nochmal hingeschrieben.

06.12.2021, 14:00

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von ichwarneu
HAL, ich habe deine Ungleichungskette für die Abrundung implizit benutzt, sie aber nicht nochmal hingeschrieben.

Na klar kannst du das so machen - ich hab es ja auch überausführlich dargelegt, um keine Unklarheiten aufkommen zu lassen.

06.12.2021, 14:15

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von ichwarneu
HAL, ich habe deine Ungleichungskette für die Abrundung implizit benutzt, sie aber nicht nochmal hingeschrieben.

Na klar kannst du das so machen - ich hab es ja auch überausführlich dargelegt, um keine Unklarheiten aufkommen zu lassen.

Es fällt mir in solchen Ausarbeitungen nach wie vor sehr schwer selber zu entscheiden, was an Angaben nun genug ist, was fehlt und wo man anfängt, päpstlicher als der Papst zu sein. Wobei letzteres in der Mathematik ja nie schaden kann, sollte man meinen. Aber dann stellt sich ja auch die Frage "Muss ich HALs Ungleichung noch anbringen? Wenn ja, muss ich die Definition der Abrundung noch einbringen? Wenn ja, muss ich...."

Eine Sache hätte ich da noch. Ich zeige einmal meinen getexten Beweis.

[attach]54103[/attach]

Ich springe ja nun zwischen den Bezeichnungen $\begin{eqnarray*} k,l,a \end{eqnarray*}$ .
Das soll andeuten:
- k sind die Elemente der Menge Q
- l sind die Elemente zwischen Null und $\begin{eqnarray*} \lfloor{\sqrt{m}}\rfloor \end{eqnarray*}$
- a ist das "fiktive" Element.

Hätte ich auch einfach statt l und a wieder k nehmen können? verwirrt

Neue Frage »

Antworten »

Anzahl der ganzzahligen Quadrate

Verwandte Themen