Klassifizierung partieller Differentialgleichungen

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kylie27 Auf diesen Beitrag antworten »
Klassifizierung partieller Differentialgleichungen
Meine Frage:
Hallo! smile

Ich weiß, dass das vermutlich nicht wirklich kompliziert ist. Aber ich weiß bei folgender Aufgabe nicht, wie ich sie lösen soll. (siehe Bild)
[attach]54102[/attach]


Meine Ideen:
Ich würde mich freuen, wenn jemand mir für Teilaufgabe a) eine ausführliche Erklärung geben würde, sodass ich das alleine auf die anderen Teilaufgaben anwenden kann. Ich habe auch schon auf Wikipedia und Co. gestöbert und bin über viele Definitionen gestolpert, aber es hilft mir immer am Besten, wenn ich ein Beispiel habe. smile

Dankeschön!
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Die allgemeine Form einer linearen PDG zweiter Ordnung ist wobei



ein linearer Differentialoperator ist. Die Klassifizierung geht anhand der Matrix vonstatten:

1. elliptisch, wenn die Eigenwerte alle positiv oder alle negativ sind,
2. parabolisch, wenn null ein einfacher Eigenwert ist und die restlichen alle positiv oder alle negativ sind,
3. hyperbolisch, wenn es einen negativen Eigenwert gibt und die restlichen positiv sind, oder es einen positiven Eigenwert gibt und die restlichen negativ sind,
4. andere.

Bei einer diagonalen Matrix können die Eigenwerte direkt abgelesen werden.

Zunächst ist im Raum. Die Einheitsmatrix besitzt den mehrfachen Eigenwert eins. Demzufolge ist die Helmholtz-Gleichung elliptisch.

Für den D'Alembert-Operator gilt , wobei





Demzufolge ist die Wellengleichung hyperbolisch.

Bei der Wärmeleitungsgleichung muss man nun aufpassen, da geht die Zeit mit ein. Da ist mit



Für liegt demzufolge eine parabolische Gleichung vor.
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