Minimum absolute Abweichung und quadratische Abweichung

07.12.2021, 10:19

Statistiker2021

Minimum absolute Abweichung und quadratische Abweichung

Hallo die summe der absoluten Abweichungen bei einer Menge an Werten wird minimal, wenn man die Abweichung vom Median betrachtet. DIe mit Summe der quadratische Abweichungen wird minimal, wenn man die Abweichung um Mittelwert betrachtet.

Kann man auch berechnen für welchen Wert die Summ aus absoluter und quadratischer Abweichung minimal wird?

07.12.2021, 10:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von Statistiker2021
Kann man auch berechnen für welchen Wert die Summ aus absoluter und quadratischer Abweichung minimal wird?

Natürlich kann man das diskutieren, allerdings habe ich ein wenig Bauchschmerzen hinsichtlich des Sinns einer solchen Summe, wenn ich das aus der Perspektive der physikalischen Einheiten betrachte: Wenn die Stichprobenwerte Längenwerte sind, addiert man dann sozusagen Meter und Quadratmeter... In der Hinsicht würde für mich statt

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{k=1}^n \left|x-x_k\right| + \sum_{k=1}^n \left(x-x_k\right)^2 \end{eqnarray*}$

viel eher

$\begin{eqnarray*} g(x) = \lambda\left( \sum_{k=1}^n \left|x-x_k\right|\right)^2 + \sum_{k=1}^n \left(x-x_k\right)^2 \end{eqnarray*}$

Sinn ergeben, wobei man noch über die Gewichtung $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ nachdenken sollte - vermutlich ist $\begin{eqnarray*} \lambda=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ eine passende Wahl.

In einem wichtigen Spezialfall lässt sich sofort eine Antwort geben: Ist der Stichprobenumfang gerade, d.h. $\begin{eqnarray*} n=2k \end{eqnarray*}$ , und liegt der Stichprobenmittelwert $\begin{eqnarray*} \bar{x} \end{eqnarray*}$ auch noch im Medianintervall $\begin{eqnarray*} \left[x_k^*,x_{k+1}^*\right] \end{eqnarray*}$ , dann minimiert $\begin{eqnarray*} x=\bar{x} \end{eqnarray*}$ sowohl die Summe der absoluten als auch die der quadratischen Abweichungen, und damit dann logischerweise auch die Gesamtsumme $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ beider Abweichungsarten - und auch obiges $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ .

07.12.2021, 11:44

Statistiker2021

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Danke für deine Antwort.
Ich habe tatsächlich einen Kontext in dem genau besagte Summe minimiert werden muss. Zumindest tritt das als Teilproblem auf. Das Problem bereiten dabei eben die Betragsstriche.

Nehmen wir an, wir haben wir haben Werte $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ und betrachten einen Wert $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , der irgendwo zwischen den Werten $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ liegt. Die Werte sind im Kontext der Aufgabe alle ganzzahlig.

Nun ist die Summe der absoluten Abweichung gegeben durch
$\begin{eqnarray*} \sum_k |x_k-x| \end{eqnarray*}$ . In meiner Aufgabe interessiert man sich aber nicht für die Summe der absoluten Abweichung, sondern für diesen Ausdruck
$\begin{eqnarray*} \sum_k \sum_{n=1}^{|x_k-x|}n=\frac{1}{2}\sum_k |x_k-x|(|x_k-x|+1)=\frac{1}{2}\sum_k( (x_k-x)^2+|x_k-x|)=\frac{1}{2}(\sum_k(x_k-x)^2+\sum_k |x_k-x|) \end{eqnarray*}$

Es handelt sich um dimensionslose ganze Zahlen und die Frage ist für welches x dieser Ausdruck minimal wird.
Man sucht quasi so ne Art absolute Abweichung, wichtet aber jeden weiteren Schritt mit dem man sich von $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ nach x bewegt um 1 höher.

Ich würde jetzt gerne wissen, ob es möglich ist durch Kenntnis von Lageparametern wie arithmetisches Mittel, Median usw. das Minimum zu berechnen. Wegen des Betragszeichens ist die Funktion leider nicht nach x differenzierbar, was das halt erschwert.

Das Problem taucht bei einer Simulation auf, die ich schreibe, aber um das zu verstehen, müsste ich etwas weiter ausholen. Es würde jedenfalls die Laufzeit des Programms deutlich verringern, wenn es einen einfachen mathematischen Ausdruck gäbe mit dem man das minimum anhand weniger Lageparameter ausrechnen kann, anstatt es durchzuprobieren.

Vielen Dank

07.12.2021, 15:28

HAL 9000

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Ja, man kann es (mit sehr moderaten Aufwand) berechnen:

Die Minimumstelle liegt auf jeden Fall zwischen Median und Mittelwert. Nun "klappert" man mit Hilfe der geordneten Stichprobe $\begin{eqnarray*} x_1^*\leq x_2^*\leq \ldots \leq x_n^* \end{eqnarray*}$ alle Intervalle $\begin{eqnarray*} \left[x_k^*,x_{k+1}^*\right] \end{eqnarray*}$ ab, die diesen Bereich überdecken. Deine Funktion

$\begin{eqnarray*} h(x) = \frac{1}{2}\left( \sum_k(x_k-x)^2+\sum_k |x_k-x|\right) = \frac{1}{2}\left( \sum_k(x_k^*-x)^2+\sum_k |x_k^*-x|\right) \end{eqnarray*}$

ist in jedem dieser Intervalle eine quadratische Funktion (weil man die Beträge in der rechten Summe komplett "auflösen" kann). Man muss sich nun jenes Intervall raussuchen, wo der Scheitelpunkt dieser quadratischen Funktion auch tatsächlich in das Intervall selbst reinfällt - und die Scheitelpunkt-Abszisse ist dann tatsächlich die Minimumstelle deines $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ .

(Der von mir o.g. Spezialfall, dass der Mittelwert ins Median-Intervall fällt, ordnet sich in dieses Konzept ein als eben der besonders einfache Fall, dass nur ein Intervall zu untersuchen ist.)

07.12.2021, 15:57

Statistiker2021

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Ok Danke. ich probier das mal aus

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