(Absolute) Konvergenz/Divergenz einer Reihe

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L a r s Auf diesen Beitrag antworten »
(Absolute) Konvergenz/Divergenz einer Reihe
Meine Frage:
Hi,
Ich habe die Reihe wie im Anhang zu sehen und soll auf (absolute) Konvergenz/Divergenz prüfen.

Meine Ideen:
Hab mich auch in zwei Sprechstunden von unseren Übungsleitern gesetzt, aber rausgekommen ist nur, dass das Quotientenkriterium helfen soll. Ich hab aber keinen Plan, wie genau das hilft.
Ich hab jetzt immer wieder rumprobiert aber weiter als im Bild mit der Handschrift komme ich nicht.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht doch schon ganz ordentlich aus der Quotient. Jetzt ist zu prüfen, wie der sich für verhält:

1) Es ist

2) Was den "Rest" betrifft, sollte man die dominante -Potenz in Zähler wie Nenner ausklammern, man bekommt



wobei der Klammerausdruck rechts gegen 1 konvergiert. Kannst du daraus schon was schließen hinsichtlich Konvergenz/Divergenz der Reihe für bestimmte Konstellationen von ?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Gegeben ist

Mit und erhält man



wobei mit die fallende Faktorielle gemeint ist.

Man hat nun Der restliche Term ist ein Quotient von Polynomen, bei dem für den Grenzwert nur die Leitmonome eine Rolle spielen. Demzufolge ist



Kritisch ist der Fall Der ist immer OK, außer bei wo das Quotientenkriterium versagt. Betrachten wir den also genauer, da ist



Man erhält die Grandi-Reihe, die ist unbestimmt divergent.
L4R5 Auf diesen Beitrag antworten »

1) Genau, auf e^b bin ich auch schon gekommen.

Und bei 2):
wie genau sieht denn dieser Klammerausdruck aus? Ich sehe gerade nicht ganz wie du auf n^(b+1) gekommen bist :-(
[Bin vielleicht auch einfach gedanklich durch.]
Aber wenn du mir da gerade nochmal helfen könntest, wäre echt super.

Ansonsten halt für a>b+1 konvergiert die Reihe, weil dann der Grenzwert dann höchsten e^b * 1/(a^a) ist, oder sogar noch kleiner, wenn a wesentlich größer als b ist. Aber selbst für den kleinsten Fall a=b+1 ist der Grenzwert kleiner 1 und damit die Reihe konvergent (bzw sogar absolut konvergent).
L4R5 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh wow! Danke Finn!

Das ist echt das was ich gebraucht habe!! Tausend Dank! Ich habe da ungefähr 4 oder 5 Fallunterscheidungen bei dem zweiten Teil gemacht. Das mit den Leitmonomen ist ja super easy. (facepalm)
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