Faktorisierung Polynom vom Grad 6

Neue Frage »

Heinzchenw Auf diesen Beitrag antworten »
Faktorisierung Polynom vom Grad 6
Meine Frage:
Wie kann ich folgenden Term per Hand faktorisieren:

Meine Ideen:
?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Normalerweise versucht man (in der Schulmathematik), einige (ganzzahlige, reelle) Nullstellen zu erraten und dann das Polynom durch die entsprechenden Linearfaktoren zu dividieren.

Das Polynom ist normiert, allerdings gibt es keine ganzzahligen, aber zwei reelle Nullstellen.
Mittels dieser beiden kann das quadratische Polynom erstellt werden, welches das gegebene Polynom 6. Grades offensichtlich teilt.

Nach der (restlosen) Division ergibt sich ein Polynom 4. Grades, welches noch weiter untersucht werden kann.

Die Untersuchung auf Zerlegbarkeit eines Polynoms erfordert umfassende Kenntnisse der Hochschulmathematik (Irreduzibilitätskriterien).
Dein Thema befindet sich in der Schulmathematik. Damit bleiben dir nur die o.a. Verfahren.
Eventuelle Nullstellen kannst du graphisch oder mittels eines CAS ermitteln.

mY+
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Sei Offenbar existieren keine positiven Nullstellen. Betrachten wir Es ist und ergo muss dazwischen mindestens eine Nullstelle befindlich sein. Entsprechend ist wegen mindestens eine weitere Nullstelle zwischen und

Man führt nun jeweils eine Bisektion aus und findet numerisch



Nun fischen wir mittels Vieta. Man erhält und in sehr guter Näherung. Angenommen, das sind die exakten Werte, dann liegt ein Glücksfund des Faktors vor. Einsetzen der exakten Lösungen von in bestätigt dies. Nun die übliche Polynomdivision ausführen, womit man die Faktorisierung



bekommt.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Und das "symmetrische" müsste mit Substitution zu knacken sein (wäre übrigens auch gleich beim Originalpolynom eine Option gewesen), das ergibt zunächst . Am Ende landet man bei folgenden vier komplexen -Lösungen in algebraischer Darstellung

und .
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das Polynom 4. Grades hat je zwei konjugiert komplexe Nullstellen, wie sie im letzten Beitrag von HAL zu sehen sind.
Deren je 2 Linearfaktoren können deswegen zu 2 quadratischen Polynomen mit rationalen Koeffizienten zusammengefasst werden.

-----------------
Sind 2 konjugiert komplexe Lösungen allgemein und , ergibt sich damit das quadratische Polynom

-----------------

Angewandt auf die konkrete Angabe ist daher (mit gerundeten Zahlenwerten)



mY+
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »