Approximation Nullstellen

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HiBee123 Auf diesen Beitrag antworten »
Approximation Nullstellen
Hallo ihr,

ich hab eine wunderschöne Aufgabe;

es gilt zu zeigen , dass für alle Nullstellen x mit p(x)=0 gilt:

ich hab leider keine Idee wie ich da vorgehen kann.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist falsch: Gegenbeispiel mit , denn da ist

,

aber es gilt mitnichten für alle Nullstellen von ...



Kann es sein, dass du die Beträge "vergessen" hast? D.h., dass dort eigentlich



steht?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Nullstelle im Fall betrachten. Die Dreiecksungleichung nutzen und anschließend weiter abschwächen.
HiBee123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt, ich hatte den zweiten Betrag vergessen.
HiBee123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komm mit dem Tipp leider nicht so recht weiter. verwirrt
Also ich schätze mein Polynom gegen |z| > 1 ab... und dann?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Als mir die Dreiecksungleichung eingefallen ist, kam ich auch nicht zum Ziel. Ich hab danach im Wikipedia-Artikel Geometrical properties of polynomial roots nachgelesen und dort festgestellt, dass das tatsächlich zielführend ist. Leider fehlt dort die Seitenangabe der Stelle in Lagranges Schrift von 1798.

Den Trivialfall betrachtet man gesondert. Sei Wenn eine Nullstelle ist, dann gilt



und damit laut Dreiecksungleichung



Mit ist und infolge



Das macht



Division durch und liefert

 
 
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