Beschränktheit einer Folge nach unten

09.12.2021, 00:10

Rekursive Folge

Beschränktheit einer Folge nach unten

Ich stehe vor folgendem Problem:

Gegeben ist $\begin{eqnarray*} a_1=3, \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac{7+3a_n}{3+a_n} \end{eqnarray*}$ . Man soll zeigen, dass diese Folge konvergiert und den Grenzwert berechnen.

Bisher habe ich erledigt:

- Potentiellen Grenzwert berechnen: $\begin{eqnarray*} a=\lim\limits_{n\to\infty} a_n = \lim\limits_{n\to\infty} a_{n+1}=\frac{7+3a}{3+a} \end{eqnarray*}$ und diese Gleichung hat die Lösungen $\begin{eqnarray*} a=\pm\sqrt{7} \end{eqnarray*}$

- Per Induktion: $\begin{eqnarray*} a_1=3>0 \end{eqnarray*}$ und dann auch $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac{7+3a_n}{3+a_n}>0 \end{eqnarray*}$ , da im Zähler und Nenner nur positive Summanden stehen, also ist 0 eine untere Schranke.

- Damit ist also höchstens $\begin{eqnarray*} a=+\sqrt{7} \end{eqnarray*}$ der Grenzwert

- Wegen $\begin{eqnarray*} a_2=\frac{16}{6}<3 \end{eqnarray*}$ vermute ich, dass die Folge monoton fallend ist, also setze ich an mit:

$\begin{eqnarray*} a_n>a_{n+1} \Leftrightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}}>1 \Leftrightarrow \frac{a_n(a_n+3)}{3a_n+7}>1 \Leftrightarrow a_n^2+3a_n>3a_n+7 \Leftrightarrow a_n^2>7 \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} a_n>0 \end{eqnarray*}$ reduziert sich das also darauf, dass ich $\begin{eqnarray*} a_n>\sqrt{7} \end{eqnarray*}$ zeigen will, was auch zu dem potentiellen Grenzwert passt.

Ich habe das mit einer vollständigen Induktion versucht, komme da aber bei der Abschätzung nicht weiter. Im Induktionsschritt habe ich

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac{7+3a_n}{3+a_n}>\frac{7+3\sqrt{7}}{3+a_n} \end{eqnarray*}$ aufgrund der Induktionsvoraussetzung. Um den Bruch weiter zu verkleinern könnte ich jetzt noch den Nenner versuchen zu vergrößern.

Wegen $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac{7+3a_n}{3+a_n}=3-\frac{2}{3+a_n}<3 \end{eqnarray*}$ hätte ich dann
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac{7+3a_n}{3+a_n}>\frac{7+3\sqrt{7}}{3+a_n}>\frac{7+3\sqrt{7}}{3+3}=\frac{7+3\sqrt{7}}{6} \end{eqnarray*}$ .

Aber WolframAlpha sagt mir jetzt, dass dieser Ausdruck nicht größer als $\begin{eqnarray*} \sqrt{7} \end{eqnarray*}$ ist, also habe ich damit die Behauptung nicht nachgewiesen. Kann mir jemand sagen wo ich etwas falsch mache?

09.12.2021, 02:00

Finn_

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Vorab eine Alternative. Sei $\begin{eqnarray*} f(x):=\frac{3x+7}{x+3}. \end{eqnarray*}$ Sei $\begin{eqnarray*} M:=[0,3]. \end{eqnarray*}$ Es gilt $\begin{eqnarray*} f(M)=[7/3,8/3]\subset M, \end{eqnarray*}$ womit man $\begin{eqnarray*} f\colon M\to M \end{eqnarray*}$ setzen darf. Auf $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ dehnungsbeschränkt mit Dehnungsschranke kleiner als eins, denn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist differenzierbar mit maximaler Ableitung kleiner als eins. Die besagten Umstände sind recht trivial, weil $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ streng monoton steigend und $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend ist.

Ergo muss die Fixpunktiteration $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=f(a_n) \end{eqnarray*}$ laut dem banachschen Fixpunktsatz gegen den Fixpunkt $\begin{eqnarray*} a\in M \end{eqnarray*}$ konvergieren, der Lösung der Fixpunktgleichung $\begin{eqnarray*} a=f(a) \end{eqnarray*}$ ist. Diese Gleichung hast du bereits gelöst, wobei nur eine der Lösungen im Definitionsbereich liegt.

09.12.2021, 02:51

Finn_

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Eine weitere Alternative. Die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist die Partialsummenfolge zur Differenzenfolge $\begin{eqnarray*} d_n = a_{n+1} - a_n, \end{eqnarray*}$ das Prinzip nennt man Teleskopsumme. Als Reihe ist $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ absolut konvergent, wenn das Quotientenkriterium zutrifft. Betrachten wir also den Quotient

$\begin{eqnarray*} \frac{d_{n+1}}{d_n} = \frac{a_{n+2}-a_{n+1}}{a_{n+1}-a_n} = \frac{f(f(a_n))-f(a_n)}{f(a_n)-a_n} = \frac{1}{3a_n+8}. \end{eqnarray*}$

Den letzten Schritt hab ich mit dem CAS gemacht, kann man aber auch per Hand machen. Wir erinnern uns, $\begin{eqnarray*} a_n\in M. \end{eqnarray*}$ Für $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 1/(3x+8) \end{eqnarray*}$ durch eine Schranke kleiner als eins beschränkt. Ergo ist der Quotient für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ durch diese Schranke beschränkt.

09.12.2021, 05:35

Finn_

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Eine weitere Alternative. Die Abbildung $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{ax+b}{cx+d} \end{eqnarray*}$ ist eine Möbiustransformation, sofern $\begin{eqnarray*} ad-bc\ne 0. \end{eqnarray*}$ Der Iteration der Möbiustransformation entspricht die Potenzierung der Matrix

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 7\\ 1 & 3 \end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Ihre Eigenwerte sind $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 3-\sqrt{7} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_2=3+\sqrt{7}. \end{eqnarray*}$ Die Bestimmung der Matrixpotenz gelingt vermittels der sylvesterschen Formel, was zum Resultat

$\begin{eqnarray*} B = A^n = pA + (\lambda_2^n-p\lambda_2)E = pA + (\lambda_1^n -p\lambda_1)E,\quad p=\frac{\lambda_2^n-\lambda_1^n}{\lambda_2-\lambda_1} \end{eqnarray*}$

führt. Man erhält die explizite Darstellung

$\begin{eqnarray*} a_n = f^n(3) = \frac{3B_{11}+B_{12}}{3B_{21}+B_{22}} = \frac{(7+3\sqrt{7})\lambda_2^n-(7-3\sqrt{7})\lambda_1^n}{\lambda_2^{n+1}-\lambda_1^{n+1}}. \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ geht $\begin{eqnarray*} \lambda_1^n\to 0 \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} \lambda_1<1. \end{eqnarray*}$ Ergo ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{7+3\sqrt{7}}{\lambda_2} = \frac{7+3\sqrt{7}}{3+\sqrt{7}} = \sqrt{7}. \end{eqnarray*}$

09.12.2021, 05:57

Leopold

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RE: Beschränktheit einer Folge nach unten

Zitat:

Original von Rekursive Folge
Kann mir jemand sagen wo ich etwas falsch mache?

In deiner Rechnung sehe ich keinen Fehler. Deine Abschätzung ist eben nur zu grob. So kommst du ans Ziel:

$\begin{align*} a_{n+1} = \frac{7 + 3a_n}{3 + a_n} = \frac{3 \left( 3 + a_n \right) - 2}{3 + a_n} = 3 - \frac{2}{3 + a_n} \end{align*}$

Jetzt kannst du mit der Induktionsannahme ohne Verlust abschätzen und kommst über $\begin{align*} 2 = \left( 3 - \sqrt{7} \right) \left( 3 + \sqrt{7} \right) \end{align*}$ ans Ziel.

09.12.2021, 07:35

HAL 9000

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Eine weitere Idee (du wirst ja hier damit zugeschüttet Augenzwinkern

):

Oftmals erleichtert es die Betrachtungen, wenn man die Folge um den potentiellen Grenzwert "verschiebt", d.h. hier mit $\begin{eqnarray*} b_n := a_n-\sqrt{7} \end{eqnarray*}$ weiter rechnet: Das ergibt

$\begin{eqnarray*} b_{n+1} = \frac{7+3(b_n+\sqrt{7})}{3+b_n+\sqrt{7}} - \sqrt{7} = \frac{3-\sqrt{7}}{b_n+3+\sqrt{7}} \cdot b_n \end{eqnarray*}$ .

Unter der Annahme $\begin{eqnarray*} b_n>0 \end{eqnarray*}$ (die für n=1 erfüllt ist) folgt daraus

$\begin{eqnarray*} 0 < b_{n+1} < \lambda\cdot b_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{3-\sqrt{7}}{3+\sqrt{7}}\approx 0.063 \end{eqnarray*}$ .

Damit konvergiert $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ geometrisch schnell gegen Null.

09.12.2021, 11:48

Rekursive Folge

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Wow, mit so viel Input hätte ich nicht gerechnet!

@Finn: die meisten Begriffe aus deinen Vorschlägen sagen mir nichts und sind bisher in der Vorlesung auch nicht drangekommen, ich denke also mal, dass ich diese Ansätze nicht unbedingt verwenden darf. Ich werde vielleicht im nächsten Semester nochmal draufgucken, vielleicht kenne ich das dann ja. Big Laugh

@Leopold

Ok, also war meine Abschätzung zu grob. Mit deinem Vorschlag stehe ich also jetzt bei

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=3-\frac{2}{3+a_n} \end{eqnarray*}$

und diesen Ausdruck will ich nach unten abschätzen. Meine Gedanken dazu:

Ich kann den gesamten Ausdruck kleiner machen, indem ich den Minuenden $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3+a_n} \end{eqnarray*}$ vergrößere. Dazu stehen mir nach meinem bisherigen Kenntnisstand zur Verfügung:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{7}<a_n\leq 3 \end{eqnarray*}$

Ich kann den Bruch vergrößern, indem ich den Nenner kleiner mache, also für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ den kleinstmöglichen Wert $\begin{eqnarray*} \sqrt{7} \end{eqnarray*}$ einsetze, richtig? Damit habe ich

$\begin{eqnarray*} 3-\frac{2}{3+a_n}>3-\frac{2}{3+\sqrt{7}} \end{eqnarray*}$

Wie ich jetzt auf die Idee mit der Umformung der 2 kommen würde…ich glaube ich würde eher versuchen den Nenner rational zu machen:

$\begin{eqnarray*} 3-\frac{2\cdot(3-\sqrt{7})}{2}=3-3+\sqrt{7}=\sqrt{7} \end{eqnarray*}$

Und damit gilt die Behauptung nach dem Prinzip der vollständigen Induktion und die Folge ist monoton, beschränkt, damit konvergent und der Grenzwert ist auch geklärt.

@Hal: Dieses Vorgehen war mir bisher noch unbekannt, ich werde es mir nach dem Aufschrieb noch einmal ansehen und durchgehen, danke!

09.12.2021, 11:55

HAL 9000

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Vielleicht noch zur Erläuterung:

Hinter den letzten drei Zeilen meines obigen Beitrags steckt insbesondere auch (aber nicht nur) ein verkappter Induktionsbeweis für $\begin{eqnarray*} b_n>0 \end{eqnarray*}$ , was ja deinem $\begin{eqnarray*} a_n > \sqrt{7} \end{eqnarray*}$ entspricht.

09.12.2021, 12:18

Leopold

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Zitat:

Original von Rekursive Folge
indem ich den Minuenden $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3+a_n} \end{eqnarray*}$ vergrößere.

Es ist der Subtrahend. Sonst aber stimmt alles.

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