Ungleichung mit aufgerundeter Wurzel

09.12.2021, 16:44

Malcang

Ungleichung mit aufgerundeter Wurzel

Hallo zusammen,

ich möchte folgendes zeigen:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} n>100 \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl und $\begin{eqnarray*} i\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} i<\frac{n}{4} \end{eqnarray*}$ gilt dann $\begin{eqnarray*} \lceil \sqrt{n\cdot i}\rceil^2 -n\cdot i < n \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz:
Es ist $\begin{eqnarray*} \lceil \sqrt{n\cdot i}\rceil^2 -n\cdot i < (\sqrt{n\cdot i} + 1)^2 - n\cdot i = 2\sqrt{n\cdot i} + 1 \end{eqnarray*}$ und wegen der Einschränkung an $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{n\cdot i} + 1 < n+1 \end{eqnarray*}$ .
Damit habe ich zumindest $\begin{eqnarray*} \lceil \sqrt{n\cdot i}\rceil^2 -n\cdot i \leq n \end{eqnarray*}$ gezeigt.

Aber wie bekomme ich das weiter gedrückt?` verwirrt

09.12.2021, 17:06

HAL 9000

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Deinem Beweis entnehme ich, dass es nicht um $\begin{eqnarray*} \left\lceil \sqrt{n\cdot i}\right\rceil -n\cdot i < n \end{eqnarray*}$ , sondern um $\begin{eqnarray*} \left\lceil \sqrt{n\cdot i}\right\rceil^2 -n\cdot i < n \end{eqnarray*}$ gehen soll...

09.12.2021, 17:13

Malcang

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Zitat:

Original von HAL 9000
Deinem Beweis entnehme ich, dass es nicht um $\begin{eqnarray*} \left\lceil \sqrt{n\cdot i}\right\rceil -n\cdot i < n \end{eqnarray*}$ , sondern um $\begin{eqnarray*} \left\lceil \sqrt{n\cdot i}\right\rceil^2 -n\cdot i < n \end{eqnarray*}$ gehen soll...

Guten Abend, HAL 9000,

oh ja, in der Tat. geschockt

Bitte das zu entschuldigen. Für den weiteren Verlauf: Ich habe es oben geändert.

09.12.2021, 17:42

HAL 9000

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Schauen wir doch mal, wo das Problem liegt: Für $\begin{eqnarray*} i\leq \frac{n-2}{4} \end{eqnarray*}$ kannst du problemlos abschätzen

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{ni}+1 \leq \sqrt{n(n-2)} + 1 < n \end{eqnarray*}$

und kommst zum Ziel. Da andererseits aber auf jeden Fall $\begin{eqnarray*} i\leq \frac{n-1}{4} \end{eqnarray*}$ gilt, ist das einzige Problem noch der Fall $\begin{eqnarray*} n-2 < 4i\leq n-1 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} n=4i+1 \end{eqnarray*}$ . Was passiert in diesem Fall:

$\begin{eqnarray*} \left\lceil\sqrt{ni}\right\rceil^2 -ni = (2i+1)^2 - (4i+1)i = 3i+1 < n \end{eqnarray*}$ ,

also auch erledigt.

09.12.2021, 17:50

Malcang

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HAL, das war wieder mal sehr hilfreich. Ich habe das alles nachvollzogen!

Vielen Dank für deine Hilfe! Freude

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