Nullstellen von Funktion 4. Grades und Funktionswert mit Horner-Schema berechnen
Neue Frage »

09.12.2021, 19:54 MathePadawan Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen von Funktion 4. Grades und Funktionswert mit Horner-Schema berechnen
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich verzweifle aktuell an der folgenden Aufgabenstellung:
"Bestimmen Sie die Nullstellen von f(x) = x^4 - 5x^2 + 4
und berechnen Sie den Funktionswert von f(3) mit Hilfe des Horner Schemas."
Dies ist das erste Mal, dass ich das Horner-Schema zur Lösung einer Aufgabe verwenden muss. Als Grundlage habe ich leider nur einen Lehrbrief, in dem das Thema meiner Meinung nach nicht sehr verständlich erklärt wird.

Meine Ideen:
Ich habe das bis jetzt so verstanden, dass man zur Anwendung des Horner-Schemas bereits eine Nullstelle gegeben haben (oder raten) muss. Der in der Aufgabe angegebene Wert 3 für x scheint aber keine Nullstelle der Funktion zu sein. Was muss ich hier also tun?

Willkommen im Matheboard!
Ich hab die Korrektur aus dem zweitem Beitrag übernommen und diesen gelöscht, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet.
Viele Grüße
Steffen
09.12.2021, 20:52 Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Die Nullstellen bestimmst Du über eine geeignete Substitution(Stichwort biquadratische Gleichung).
Das Horner Schema ist ein Verfahren zur Berechnung von Funktionswerten von Polynomfunkrionen. Das hat mit Nullstellen eigentlich nichts zu tun.
09.12.2021, 21:09 MathePadawan2 Auf diesen Beitrag antworten »

"Biquadratische Gleichung" sagt mir leider gar nichts. Wenn das Horner Schema mit Nullstellen nichts zu tun hat, wieso soll ich es dann laut Aufgabenstellung dafür verwenden? Sorry, aber mit der Antwort hast du mich jetzt noch mehr verwirrt, als ich ohnehin schon war unglücklich
09.12.2021, 22:04 Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Substituiere doch mal , dann dürfte es klarer werden.

Und das Hornerschema sollst Du nur zum Berechnen von f(3) verwenden, nicht für die Nullstellen. Dadurch musst Du Dich nicht mit den Potenzen herumschlagen, sondern nur multiplizieren. Schau Dir es mal an, es ist nicht schwer.
10.12.2021, 19:02 MathePadawan Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir jetzt noch einmal einige Videos dazu angeschaut und konnte die Aufgabe damit nun lösen. Die ersten zwei Nullstellen konnte ich problemlos erraten. Ich gehe daher einfach mal davon aus, dass wir die Nullstellen nicht via Substitution o.Ä. berechnen sollten (wird auch nicht im Lehrmaterial behandelt). Trotzdem danke für die hilfreichen Antworten!
10.12.2021, 19:10 Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ganzzahlige Nullstellen sind Teiler des konstanten Gliedes, dafür kommen nur in Frage. Da das Polynom nur Potenzen mit geraden Exponenten enthält ist, ist mit einer Nullstelle auch ihre Gegenzahl eine Nullstelle. Durch Nachrechnen erkennt man sofort und als Nullstellen. Das Polynom ist vom Grad 4, also sind das alle Nullstellen. Da das Polynom normiert ist, folgt die Faktorisierung
 Anzeige 
 
11.12.2021, 14:29 Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstellen von Funktion 4. Grades und Funktionswert mit Horner-Schema berechnen
Guten Tag,

um noch einmal an den Anfang zurückzukehren " .... und Funktionswert mit Horner-Schema berechnen "

In seiner einfachsten Form ist das Horner-Schema ein Schema: Es müssen alle Koeffizienten benutzt werden. In deinem Fall also:

code: 
1:
2:
3:
4:
5:

       | 1    0    -5    0    4
x = 3  | 0    3     9   12   36
--------------------------------
       | 1    3     4   12   40


Gebrauchsanweisung:
  • 1. Zeile alle Koeffizienten
  • 2. Zeile startet immer mit null.
  • Die in der 1. und 2. Zeile übereinander stehenden Werte werden addiert und in die 3. Zeile eingetragen
  • Die Summe in der 3. Zeile wird mit dem x-Wert multipliziert und in den nächsten freien Platz der 2. Zeile eingetragen
  • Der letzte Wert der 3. Zeile ist der Funktionswert für den angegebenen x-Wert.


Bei der Nullstellenberechnung muss eine Nullstelle geraten werden, schließlich soll der letzte Wert der 3. Zeile ja null sein. Ich übernehme die Nullstellen aus Leopolds Lösung:

code: 
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:

       | 1    0    -5    0    4
x = 2  | 0    2     4   -2    4         
--------------------------------
       | 1    2    -1   -2   0              <----- hier stehen jetzt die Koeffizienten des kubischen Restpolynoms
x = 1  | 0    1     3    2
--------------------------------
       | 1    3     2    0              <----- hier stehen jetzt die Koeffizienten des quadratischen Restpolynoms
x = -1 | 0   -1    -2
--------------------------------
       | 1    2     0              <----- hier stehen jetzt die Koeffizienten des linearen Restpolynoms
x = -2 | 0   -2
--------------------------------
        |1     0
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »


MatheBoard » Hochschulmathematik » Algebra » Nullstellen von Funktion 4. Grades und Funktionswert mit Horner-Schema berechnen