Stetigkeit oder Unstetigkeit einer Komposition

09.12.2021, 21:17	aylinxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit oder Unstetigkeit einer Komposition Wenn f unstetig und g stetig ist, ist dann die Komposition unstetig?
09.12.2021, 21:23	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht zwingend: Wenn beispielsweise $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ konstant ist, dann ist auch die Komposition konstant (sogar beide $\begin{eqnarray} f\circ g \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} g\circ f \end{eqnarray}$ ) und damit stetig.
09.12.2021, 21:31	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Interessanterweise sollte die Aussage stimmen für $\begin{eqnarray} f \circ g \end{eqnarray}$ , wenn man fordert dass die Umgebungen der Unstetigkeiten von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ im Bild von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ liegen. Noch cooler: ich vermute $\begin{eqnarray} g \circ f \end{eqnarray}$ ist unstetig, wenn zusätzlich zur Stetigkeit $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ injektiv gefordert wird.
09.12.2021, 21:47	aylinxx	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} h(x) = \lfloor x \rfloor \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(x) = \frac{1}{1+e^{-x}} \end{eqnarray}$ Wäre hier in dem Fall $\begin{eqnarray} h \circ g \end{eqnarray}$ stetig?
09.12.2021, 22:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Tolles Beispiel... es ist $\begin{eqnarray} h(g(x))=0 \end{eqnarray}$ für alle reellen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ .
09.12.2021, 22:19	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte noch sagen sollen, dass die Unstetigkeiten im Innern des Definitionsbereichs von $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ liegen. Sagen wir $\begin{eqnarray} h \colon \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray}$ . Dann wären die Unstetigkeiten $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ und die Umgebungen der Unstetigkeitsstellen enthalten Intervalle $\begin{eqnarray} (-\epsilon , \epsilon ) + n \end{eqnarray}$ . Das Bild von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ enthält aber keines dieser Intervalle. Ich weiß nicht, ob ich das klar genug ausgedrückt habe
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09.12.2021, 22:28	aylinxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe. Somit ist es in dem Fall stetig. Vielen Dank euch beiden.

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