Stochastik und Wertpapierportfolio

10.12.2021, 15:38

MMchen60

Stochastik und Wertpapierportfolio

Hallo liebe Forumsgemeinde,
wie fange ich bei der im Anhang sich befindlichen Aufgabe am geschicktesten an? Habe keinen Ansatz für eine Lösung. Als Lösung soll 0,0897 rauskommen.
Danke für Antworten

10.12.2021, 21:07

HAL 9000

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Fassen wir die Renditen der drei Wertpapiere in einen Zufallsvektor $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ zusammen, in der angegebenen Reihenfolge. Dann besitzt $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ den Erwartungswertvektor $\begin{eqnarray*} \mu = \begin{pmatrix} 0.07\\ 0.08\\ 0.12\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sowie die Kovarianzmatrix $\begin{eqnarray*} \Sigma = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0.04 & -0.018\\ 0 & -0.018 & 0.09\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt geht es um ein Optimierungsproblem

$\begin{eqnarray*} p^t \mu \to \max! \end{eqnarray*}$

unter den Nebenbedingungen

a) $\begin{eqnarray*} p\in\mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ ist eine diskrete Verteilung, d.h. nichtnegative Komponenten mit Summe 1.
b) $\begin{eqnarray*} p^T\Sigma p = 0.01 \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Die Aufgabe sollte mal den aktuellen Gegebenheiten angepasst werden: D.h., die 7% Festzins sollten durch -0.5% ersetzt werden ("Verwahrentgelt").

14.12.2021, 09:01

MMchen60

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Zitat:

Original von HAL 9000
Jetzt geht es um ein Optimierungsproblem

$\begin{eqnarray*} p^t \mu \to \max! \end{eqnarray*}$

unter den Nebenbedingungen

a) $\begin{eqnarray*} p\in\mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ ist eine diskrete Verteilung, d.h. nichtnegative Komponenten mit Summe 1.
b) $\begin{eqnarray*} p^T\Sigma p = 0.01 \end{eqnarray*}$ .

Hallo HAL9000, also bis dahin ist mir das ja klar. Aber, was ist p' mit $\begin{eqnarray*} p\in\mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ ? Wie sieht p aus? Und wie bildet man $\begin{eqnarray*} \Sigma p \end{eqnarray*}$ .

14.12.2021, 09:18

HAL 9000

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Naja, steigen wir von dem hohen Ross dieser Formulierung wieder in die Niederungen der konkreten Berechnung in diesem Fall ab;

Mit Verteilungsvektor $\begin{eqnarray*} p\in\mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ meine ich schlicht $\begin{eqnarray*} p=(u,v,w)^T \end{eqnarray*}$ mit nichtnegativen $\begin{eqnarray*} u,v,w \end{eqnarray*}$ , deren Summe gleich 1 ist, also $\begin{eqnarray*} u+v+w=1 \end{eqnarray*}$ . Mit diesem $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ sowie bei Einsetzen von $\begin{eqnarray*} u=1-v-w \end{eqnarray*}$ haben wir dann einfach das Optimierungsproblem

Zitat:

$\begin{eqnarray*} p^T \mu = 0.07u + 0.08v + 0.12w = 0.07(1-v-w) + 0.08v + 0.12w = 0.07 + 0.01v + 0.05w \to \max! \end{eqnarray*}$

unter Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} p^T\Sigma p = 0.04v^2 - 0.036vw + 0.09w^2 = 0.01 \end{eqnarray*}$ .

Das kann man nun lösen; i.d.R. wird man mit Lagrange-Multiplikator rangehen usw.

Stimmt natürlich nicht ganz, denn ich habe die drei auch noch geltenden Nebenbedingungen $\begin{eqnarray*} v\geq 0,w\geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v+w\leq 1 \end{eqnarray*}$ vorerst unter den Tisch fallen lassen. Aber da wir bei dem o.g. Optimierungsproblem ein lokales Maximum rauskriegen, welches diese Bedingungen erfüllt, sind wir auf der sicheren Seite. Augenzwinkern

15.12.2021, 07:52

MMchen60

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Also mittels Lagrange $\begin{eqnarray*} p^T \mu(v,w,\lambda) =0.07 + 0.01v + 0.05w + \lambda (0.04v^2 - 0.036vw + 0.09w^2-0,01) \end{eqnarray*}$ lösen?
Oder geht das auch einfacher?
Viele Grüße
Meinolf

15.12.2021, 07:54

HAL 9000

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Würde ich mal so angehen, ja. Zumindest bin ich auf diese Weise auf dein

Zitat:

Original von MMchen60
Als Lösung soll 0,0897 rauskommen.

gekommen.

15.12.2021, 10:28

MMchen60

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Zitat:

Original von HAL 9000
Würde ich mal so angehen, ja. Zumindest bin ich auf diese Weise auf dein
gekommen.

Hallo, ja, ich jetzt auch. Aber mal Frage an den Experten: Gibt es für diese ellenlange Rechnerei eventuell auch einen Online-Rechner? Ist da etwas bekannt?

15.12.2021, 11:06

HAL 9000

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Na so schlimm ist es ja auch nicht: $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial w} = 0 \end{eqnarray*}$ ergibt ein lineares 2x2-GLS für die Variablen $\begin{eqnarray*} \lambda v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda w \end{eqnarray*}$ , und dies in die Nebenbedingung (oder wenn man so will $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial \lambda} = 0 \end{eqnarray*}$ ) eingesetzt bekommt man sofort zwei Werte für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , von denen nur einer für uns hier zu gebrauchen ist. Geht doch noch vom Aufwand her, finde ich.

Was diesbezügliche Online-Rechner betrifft, da gibt es hier im Board andere Experten - vielleicht meldet sich von denen noch einer.

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