Unstetigkeiten einer Funktion ohne Angabe einer bestimmten Stelle

10.12.2021, 19:14	MathePadawan	Auf diesen Beitrag antworten »
Unstetigkeiten einer Funktion ohne Angabe einer bestimmten Stelle Meine Frage: Hallo, ich habe die Aufgabe bekommen, die folgende Funktion auf Unstetigkeiten zu untersuchen: $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{x^3-2x^2+4x-8}{x^2-4} \end{eqnarray}$ Leider weiß ich nicht so recht, wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen muss. Meine Ideen: Ich kenne das bisher nur so, dass man eine Funktion an einer bestimmten Stelle (z.B. x0) auf Stetigkeit untersucht, indem man sich dieser Stelle von beiden Seiten her annähert (via Limes/Grenzwert). Da ich derartige Stellen hier aber scheinbar selbst herausfinden muss, komme ich bei der Aufgabe nicht weiter. Gibt es dazu irgendeine generelle Vorgehensweise, oder wie finde ich die Stellen heraus, an denen ich die Funktion auf Stetigkeit untersuchen muss? Leider kann ich in unserem Lehrmaterial keine verständlichen Informationen dazu finden, wie ich bei so einer Aufgabenstellung vorgehen muss.
10.12.2021, 19:24	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit bleibt erhalten, wenn man stetige Funktionen addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert oder verkettet. Da die Funktionen $\begin{align} x \mapsto c \end{align}$ (konstant) und $\begin{align} x \mapsto x \end{align}$ offensichtlich stetig sind, sind folglich auch alle rationalen Funktionen stetig. Deine Funktion $\begin{align} f(x) \end{align}$ ist solch eine rationale Funktion, also stetig. Stetigkeit an einer Stelle $\begin{align} x_0 \end{align}$ ist eine Eigenschaft, die nur für solche $\begin{align} x_0 \end{align}$ überprüft werden kann, die im Definitionsbereich einer Funktion liegen. Für $\begin{align} x_0 \end{align}$ , an denen eine Funktion gar nicht definiert ist, ergibt die Frage nach Stetigkeit oder Unstetigkeit keinen Sinn. Bei deiner Aufgabe geht es daher eher um Definitionslücken und darum, ob die Funktion an einer bestimmten Definitionslücke stetig ergänzbar ist oder nicht. Was das konkrete Rechnen angeht, solltest du im Nenner einen bekannten Ausdruck erkennen. Im Zähler könntest du aus den ersten beiden Summanden $\begin{align} x^2 \end{align}$ ausklammern, aus den beiden letzten $\begin{align} 4 \end{align}$ . Vielleicht siehst du dann, wie es weitergeht.
10.12.2021, 19:53	MathePadawan	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe nun erkannt, dass es Definitionslücken für x=2 und x=-2 gibt, da in beiden Fällen der Nenner 0 wird. Nun weiß ich aber nicht so recht, wie ich z.B. für die Fälle x<2 und x>2 den jeweiligen Grenzwert für x gegen 2 ermittle. Die Funktion konnte ich mit deinen Tips wie folgt "vereinfachen": $\begin{eqnarray} \frac{x^2(x-2)+4(x-2)}{x^2-4} \end{eqnarray}$ Leider komme ich ab da nicht mehr weiter. Aufgrund der Summe im Zähler kann man da ja nichts so wirklich kürzen. Ist das der falsche Ansatz?
10.12.2021, 20:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast richtig umgeformt, die Sache aber nicht zu Ende gebracht. Beachte im Zähler das Distributivgesetz: $\begin{align} AC + BC = (A+B)C \end{align}$ $\begin{align} A=x^2 \, , \ \ B = 4 \, , \ \ C = x-2 \end{align}$ Und arbeite im Nenner mit der dritten binomischen Formel. Die ermöglicht dir eine Faktorzerlegung. Vereinfache den Bruch durch Kürzen und untersuche, was bei Annäherung an eine Definitionslücke passiert.
10.12.2021, 20:37	MathePadawan	Auf diesen Beitrag antworten »
Durch die Anwendung des Distributivgesetzes erhalte ich ja $\begin{eqnarray} \frac{(x^2+4)(x-2)}{x^2-4} \end{eqnarray}$ , aber inwiefern hilft mir das weiter? Mit der dritten binomischen Formel kann ich den Bruch hingegen in zwei Brüche aufteilen und weiter vereinfachen und erhalte dadurch dann $\begin{eqnarray} \frac{x^2+4}{x+2} \end{eqnarray}$ . Ist das korrekt? Bei der Annäherung an x->2 von beiden Seiten wäre der Grenzwert dann scheinbar in beiden Fällen 2, oder? Was genau würde das dann jetzt bedeuten? Ich hatte bisher leider immer nur Aufgaben, bei denen der linke und der rechte Grenzwert unterschiedlich waren
10.12.2021, 20:54	MathePadawan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe das gesamte Prozedere nun auch noch einmal für x=-2 durchgeführt und komme dabei auf den linksseitigen Grenzwert $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ und auf den rechtsseitigen Grenzwert $\begin{eqnarray} +\infty \end{eqnarray}$ . Meine Schlussfolgerung wäre demnach, dass die Funktion bei x=-2 eine Polstelle hat. Ist das soweit alles korrekt, oder habe ich noch irgendetwas vergessen, um die Aufgabe zu lösen?
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11.12.2021, 07:50	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
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