Harmonische Reihe als Cauchyfolge

11.12.2021, 06:34	Joefish	Auf diesen Beitrag antworten »
Harmonische Reihe als Cauchyfolge Morgen, ich weiß dass die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\frac{1}{k} \end{eqnarray}$ divergiert, da sich die Unbeschränktheit durch Abschätzung der Partialsummen ergibt $\begin{eqnarray} \left\| \sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} \right\| = \sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k} \geq n \cdot \frac{1}{2n} = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Jedoch, im Widerspruch zu dem eben gezeigten, ist $\begin{eqnarray} \left\| \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} \right\| = \frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ und fuer $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ existiert ein $\begin{eqnarray} N \in \mathbb{N} > \frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray}$ sodass $\begin{eqnarray} \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} < \epsilon \; ,\ n \geq N \end{eqnarray}$ . Womit $\begin{eqnarray} \sum \frac{1}{k} \end{eqnarray}$ eine Cauchyfolge und damit beschränkt wäre. Wo ist mein Denkfehler? Ich dachte erst ich würde vielleicht in meiner Argumentation vorwegnehmen, dass die Reihe konvergiert aber ich zeige ja dass fuer alle $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ ein Index existiert, ab welchem die Differenz des Betrags der Partialsummen kleiner sind, was gerade die Definition von Konvergenz einer Reihe ist. MfG Joe
11.12.2021, 07:00	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Anscheinend musst du deine Logik ordnen. $\begin{eqnarray} (a_k) \end{eqnarray}$ ist Cauchy-Folge genau dann wenn $\begin{eqnarray} \forall \varepsilon>0 ~ \exists N\in\mathbb{N} ~ \forall m\geq n\geq N:~ \left\|a_m-a_n\right\|<\varepsilon\qquad (1) \end{eqnarray}$ gilt. Du hast hingegen lediglich gezeigt $\begin{eqnarray} \forall \varepsilon>0 ~ \exists N\in\mathbb{N} ~ \forall n\geq N:~ \left\|a_{n+1}-a_n\right\|<\varepsilon\qquad (2) \end{eqnarray}$ D.h., du hast Eigenschaft $\begin{eqnarray} \left\|a_m-a_n\right\|<\varepsilon \end{eqnarray}$ in (1) nur für $\begin{eqnarray} m=n+1 \end{eqnarray}$ gezeigt statt für alle $\begin{eqnarray} m\geq n \end{eqnarray}$ - das ist NICHT genug! Wenn du aber hingegen nachweisen willst, dass $\begin{eqnarray} (a_k) \end{eqnarray}$ KEINE Cauchy-Folge ist, dann musst du die Negation von (1) zeigen, das ist $\begin{eqnarray} \exists \varepsilon>0 ~ \forall N\in\mathbb{N} ~ \exists m\geq n\geq N:~ \left\|a_m-a_n\right\|\geq \varepsilon \end{eqnarray}$ . Und das klappt bei den Partialsummen $\begin{eqnarray} a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \end{eqnarray}$ der Harmonischen Reihe nun eben mit Wahl von $\begin{eqnarray} \varepsilon=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} n=N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} m=2N \end{eqnarray}$ .
11.12.2021, 23:42	Joefish	Auf diesen Beitrag antworten »
oh, da war ich wohl wirklich etwas nebendran :P Danke fuer deine schnelle Antwort

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