Differenzierbarkeit

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aylinxx Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierbarkeit
Sei eine reelle Zahl mit und eine Funktion mit für alle .

Unser Dozent hat gesagt, dass man das mit dem Konstanzkriterium zeigen kann. Nur die Frage, die ich mir dann stelle ist, das im Konstanzkriterium auch gefordert ist, dass die Funktion differenzierbar ist. Heißt das dann, dass ich zuerst zeigen muss, dass die differenzierbar ist?


Liebe Grüße
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit
Für folgt aus dem Kriterium, dass konstant ist. Für bspw. ist es nur die Lipschitz-Bedingung, und dort gibt es Funktionen mit nicht-differenzierbaren Stellen.

Aber für , wenn die Funktion konstant ist, dann ist sie trivialerweise differenzierbar mit . Da musst du Differenzierbarkeit nicht gesondert zeigen.
aylinxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hey. smile

Ich verstehe nicht ganz, wieso aus dem Kriterium folgt, dass konstant ist. verwirrt

Meinst du das so, dass wenn ich zeige, dass für alle , das die Differenzierbarkeit so gesehen implizit folgt?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Es heißt das "Konstanzkriterium" für , weil aus der Bedingung folgt, dass konstant ist. Beweis ist trivial: Teile durch und du hast .

Die linke Seite konvergiert für nach Sandwich-Lemma gegen , da die rechte Seite gegen konvergiert. Die linke Seite konvergiert also, aber dort ist der Betrag des Differentialquotienten. D.h. ist differenzierbar mit .
aylinxx Auf diesen Beitrag antworten »

Ah! Verstehe. Ich danke dir vielmals für deine Zeit. Wink
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