sin^2(x)=1 nach x umstellen

12.12.2021, 18:37

MathePadawan

sin^2(x)=1 nach x umstellen

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich soll die folgende Aufgabe lösen:
0=1-sin^2(x)

Meine Ideen:
Diese Gleichung habe ich nun bereits durch Addieren von sin^2(x) zu sin^2(x)=1 umgestellt.

Nun weiß ich bereits, dass die Sinusfunktion für x=pi/2 und für x=3/2pi gleich 1 ist. Da 1*1=1 ist, wären x=pi/2 und x=3/2pi meiner Meinung nach also auch Lösungen für sin^2(x)=1. Nun weiß ich aber nicht, wie man das hier konkret "mathematisch korrekt" weiterrechnet. Kann ich nun einfach "x=pi/2 und x=3/2pi" hinschreiben, oder wie löst man das nun? Wenn ich das richtig sehe, müssten demnach ja auch z.B. 5/2pi oder 7/2pi Lösungen dieser Gleichung sein, aber dann kann ich ja gar nicht alle Lösungen einfach hinschreiben? Gibt es dafür irgendeine andere Schreibweise?

12.12.2021, 18:52

Malcang

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Natürlich kannst du alle Lösungen hinschreiben, aber du hast ja noch nicht alle gefunden Augenzwinkern

Einfach wird es das zu sehen, wenn man $\begin{eqnarray*} \sin(x)^2 + \cos(x)^2 = 1 \end{eqnarray*}$ ausnutzt und entsprechend umstellt. Das führt zu einer altbekannten Gleichung, deren Lösungsmenge du sicherlich schon gesehen hast.

12.12.2021, 18:57

Finn_

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Ja, Lösungsmenge $\begin{eqnarray*} L = \{(2k+1)\frac{\pi}{2}\mid k\in\mathbb Z\}. \end{eqnarray*}$ Die $\begin{eqnarray*} 2k+1 \end{eqnarray*}$ sind hierbei schlicht die ungeraden Zahlen.

Die Identität $\begin{eqnarray*} 2\sin^2 x = 1-\cos(2x) \end{eqnarray*}$ bietet einen weiteren alternativen Weg.

12.12.2021, 19:31

MathePadawan

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Sorry, aber ich kann euch leider nicht so wirklich folgen.
$\begin{eqnarray*} \sin(x)^2 + \cos(x)^2 = 1 \end{eqnarray*}$ sagt mir leider nichts. Ich habe gerade nochmal unser Lernmaterial durchsucht und konnte diese Gleichung da unter dem Titel "Trigonometrischer Pythagoras" finden, aber leider wird sie da bloß aufgelistet und es wird sonst nichts weiter dazu erklärt. Ich wäre ansonsten bei dieser Aufgabe auch nie auf die Idee gekommen, den Kosinus für irgendwas zu verwenden.

Vielleicht kurz zum Hintergrund:
Ich habe kürzlich ein Informatikstudium begonnen und muss nun innerhalb kürzester Zeit mir wieder sämtlichen Schulstoff in Erinnerung rufen, um die Inhalte für die erste Mathe-Prüfung draufzuhaben.
Leider ist es schon fast 10 Jahre her, seit ich das damals alles in der Schule durchgenommen habe. Wirklich gut war ich in Mathe damals in der Schule auch nicht unbedingt, sodass ich hier jetzt gefühlt unendlich viele Wissenslücken und Themen innerhalb weniger Wochen wieder aufarbeiten muss. Aktuell erscheint mir das alles noch ziemlich aussichtslos traurig

.

Kann man das vielleicht noch irgendwie einfacher erklären? Ich verstehe noch nicht so wirklich, wie mir $\begin{eqnarray*} \sin(x)^2 + \cos(x)^2 = 1 \end{eqnarray*}$ hier weiterhelfen soll.

12.12.2021, 19:54

Malcang

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Zitat:

Original von MathePadawan
Kann man das vielleicht noch irgendwie einfacher erklären? Ich verstehe noch nicht so wirklich, wie mir $\begin{eqnarray*} \sin(x)^2 + \cos(x)^2 = 1 \end{eqnarray*}$ hier weiterhelfen soll.

Nun, du kannst diese Gleichung umstellen zu $\begin{eqnarray*} \sin(x)^2 = 1-cos(x)^2 \end{eqnarray*}$ und nun wiederum diesen Ausdruck in der Ausgangsgleichung einsetzen. Dann hebt sich dort schon etwas weg.

13.12.2021, 09:38

HAL 9000

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Du KANNST $\begin{eqnarray*} \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \end{eqnarray*}$ hier einsetzen, musst es aber nicht. Ohne diese oder andere Beziehungen zwischen Winkelfunktionen ("Additionstheoreme" genannt) kommt man hier auch so zum Ziel:

In $\begin{eqnarray*} \sin^2(x)=1 \end{eqnarray*}$ die Wurzel gezogen bekommt man $\begin{eqnarray*} |\sin(x)|=1 \end{eqnarray*}$ , das bedeutet entweder $\begin{eqnarray*} \sin(x)=1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \sin(x)=-1 \end{eqnarray*}$ . Ersteres hat die Lösung $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ im Grundintervall $\begin{eqnarray*} [0,2\pi) \end{eqnarray*}$ , und der Periodizität $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ der Sinusfunktion wegen insgesamt $\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

Analog hat $\begin{eqnarray*} \sin(x)=-1 \end{eqnarray*}$ die Grundlösung $\begin{eqnarray*} \frac{3\pi}{2} \end{eqnarray*}$ und wieder der Periodizität $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ wegen insgesamt dann $\begin{eqnarray*} x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi \end{eqnarray*}$ .

Beide Lösungsscharen kann man nun in der Schreibweise zusammenfassen zu $\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi}{2}+k\pi \end{eqnarray*}$ , wobei gerade $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ für die erste Lösungsschar und ungerade $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ für die zweite Lösungsschar stehen.

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